Wallace-Bolyai-Gerwien teorem

I geometri, Wallace-Bolyai-Gerwien sætning, opkaldt efter William Wallace, Farkas Bolyai og Paul Gerwien, hedder det, at to simple polygoner af samme område er equidecomposable; dvs man kan skære den første i finitely mange polygonale stykker og omarrangere brikkerne til at få den anden polygon.

"Omlejring" betyder, at man kan anvende en oversættelse og en rotation til hver polygonale stykke.

I modsætning til den generelle løsning på Tarski cirkel-kvadrering problem er udvalgsaksiomet ikke påkrævet for beviset, og nedbrydningen og samling kan faktisk udføres "fysisk"; stykkerne kan i teorien blive skåret med en saks fra papir og samles igen manuelt.

Sætningen kan forstås i to trin. For det første kan enhver polygon skæres i trekanter: for konvekse polygoner dette er umiddelbar, ved at afskære hvert hjørne til gengæld mens konkave polygoner kræver mere omhu. Hver af disse trekanter kan derefter omdannes til en retvinklet trekant, ved at lade en højde. Dette er tilstrækkeligt til nemt at beregne det område, som hver retvinklet trekant er halvt et rektangel, eller alternativt kan skæres halvvejs op skal samles i en firkant. Den anden og finere trin er, at hver retvinklet trekant kan opdeles i et rektangel med en side af en given længde. Når dette er bevist, følger det, at hver polygon kan opdeles i et rektangel med enhed bredde og højde lig med dens område, hvilket beviser sætningen.

Højere dimensioner

Den analoge udsagn om polyedre i tre dimensioner, kendt som Hilbert tredje problem, er falsk, som dokumenteret af Max Dehn i 1900.

Historie

Farkas Bolyai først formulerede spørgsmål. Gerwien bevist sætning i 1833, men i virkeligheden Wallace havde vist samme resultat allerede i 1807.

Ifølge andre kilder, havde Bolyai og Gerwien uafhængigt bevist sætning i 1833 og 1835 henholdsvis.

  0   0
Forrige artikel Faktiske synd
Næste artikel Barak 8

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha