Verma modul

Verma moduler, opkaldt efter Daya-Nand Verma, er objekter i repræsentationen teori om Lie algebraer, en gren af ​​matematik.

Verma moduler kan anvendes til at bevise, at en irreducible højeste vægt modul med højeste vægt er finite-dimensional, hvis og kun hvis vægten er dominerende og integreret. Deres homomorfier svarer til invariante differentialoperatorer løbet flag mangfoldigheder.

Definition af Verma moduler

Definitionen er baseret på en stak af relativt tæt notation. Lad være et felt og betegner følgende:

  • , En semisimple Lie algebra forbi, med universal omsluttende algebra.
  • , En Borel subalgebra af, med universal omsluttende algebra.
  • , En Cartan subalgebra af. Vi betragter ikke sin universelle omsluttende algebra.
  • , En fast vægt.

For at definere Verma modulet, begynder vi med at definere nogle andre moduler:

  • , Den endimensionale -vector plads sammen med en -modul struktur, således at fungerer som multiplikation med, og de positive root rum handle trivielt. Som det er en venstre -modul, det er derfor en venstre -modul.
  • Brug af Poincaré-Birkhoff-Witt teorem, der er en naturlig ret -modul struktur på ved at højreklikke multiplikation af et subalgebra. er naturligvis en venstre -modul, og sammen med denne struktur, er det en -bimodule.

Nu kan vi definere Verma Modul

der er naturligvis en venstre -modul. Den Poincaré-Birkhoff-Witt sætning indebærer, at den underliggende vektorrum af er isomorf til

hvor er Lie subalgebra genereres af de negative rod rum af.

Grundlæggende egenskaber

Verma moduler, der betragtes som -modules, er højeste vægt moduler, dvs de er genereret af en højeste vægt vektor. Denne højeste vægt vektor er, og det har vægt.

Verma moduler er vægt moduler, dvs. er en direkte sum af alle sine vægt rum. Hver vægt plads i er endelig-dimensional, og dimensionen af ​​-Vægt rum er antallet af muligheder, hvordan du får som en sum af positive rødder.

Verma moduler har en meget vigtig egenskab: Hvis det er enhver gengivelse genereret af en højeste vægt vektor af vægten, der er en Surjective -homomorphism Det vil sige, alle repræsentationer med højeste vægt, der genereres af den højeste vægt vektoren kvotienter af

 indeholder et unikt maksimal submodule, og kvotienten er den unikke irreducible repræsentation med højeste vægt

Den Verma modulet selv er irreducible hvis og kun hvis ingen af ​​koordinaterne for i grundlaget for de grundlæggende vægte er fra sættet.

Den Verma modulet kaldes regelmæssig, hvis dens højeste vægt λ er på affine Weyl kredsløb af en dominerende vægt. I andre ord, findes der et element w af Weyl gruppen W således at

hvor er affine virkning af Weyl gruppen.

Den Verma modulet kaldes ental, hvis der ikke er dominerende vægt på affine bane λ. I dette tilfælde findes der en vægt, så det er på væggen af ​​den grundlæggende Weyl kammeret.

Homomorfier af Verma moduler

For to vægte en ikke-triviel homomorfi

kan kun eksistere, hvis og er forbundet med en affin virkning af Weyl gruppen af ​​Lie algebra. Dette følger let fra Harish-Chandra teorem på uendeligt centrale figurer.

Hver homomorfi af Verma moduler er injektiv og dimensionen

for enhver. Så er der et nul, hvis og kun hvis er isomorf til en undermodul af.

Den fulde klassifikation af Verma modul homomorfier blev gjort ved Bernstein-Gelfand-Gelfand og Verma og kan opsummeres i følgende erklæring:

Hvis Verma moduler og er regelmæssige, så der findes en unik dominerende vægt og unikke elementer w, w 'af Weyl gruppen W således at

og

hvor er affine virkning af Weyl gruppen. Hvis vægtene er yderligere integreret, så der findes et nul homomorfi

hvis og kun hvis

i Bruhat bestilling af Weyl gruppen.

Jordan-Hölder serien

Lad

være en sekvens af -modules således at kvotienten B / A er irreducible med højeste vægt μ. Så findes der en nul homomorfi.

En nem konsekvens af dette er, at ved højeste vægt moduler, således at

der findes en ikke-nul homomorfi.

Bernstein-Gelfand-Gelfand opløsning

Lade være et endeligt-dimensionel irreducible repræsentation af Lie algebra med højeste vægt λ. Vi ved fra afsnittet om homomorfier af Verma moduler, at der findes en homomorfi

hvis og kun hvis

i Bruhat bestilling af Weyl gruppen. Den følgende sætning beskriver en opløsning på i form af Verma moduler:

Der findes et tilsvarende opløsning for generaliserede Verma moduler så godt. Det betegnes kort som BGG opløsning.

For nylig blev disse resolutioner undersøgt i særlige tilfælde, på grund af deres forbindelser til invariante differentiale operatører i en særlig type Cartan geometri, de parabolske geometrier. Disse er Cartan geometrier modelleret på parret, hvor G er en Lie gruppe og P en parabolsk undergruppe).

  0   0
Forrige artikel Dombes Group

Relaterede Artikler

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha