Torsion

I abstrakt algebra udtrykket torsion refererer til elementer af endelig orden i grupper, og at elementer af moduler tilintetgjort ved regelmæssig elementer i en ring.

Definition

Et element m af et modul M over en ring R kaldes en torsionselementet af modulet, hvis der findes en fast bestanddel r af ringen, der tilintetgør m, dvs i en integreret domæne, hver ikke-nul element er regelmæssig, så en torsionselementet af et modul i en integreret domæne er en udslettet af en ikke-nul element i integreret domæne. Nogle forfattere bruge dette som definitionen af ​​en vridning element, men denne definition ikke virker godt over mere generelle ringe.

Et modul M over en ring R kaldes en torsion-modul, hvis alle dens elementer er torsion elementer og vridning-fri, hvis nul er den eneste torsionselementet. Hvis ringen R er en integreret domæne derefter sættet af alle torsion elementer danner et undermodul af M, kaldet torsion undermodul af M, undertiden betegnet T. Hvis R ikke er kommutativ, T måske eller måske ikke være en undermodul. Det er vist, at R er en ret Ore ring hvis og kun hvis T er en undermodul af M for alle rigtige R moduler. Da rigtige Noetherian domæner er Ore, dette dækker tilfældet, når R er en ret Noetherian domæne.

Mere generelt, lad M være et modul i en ring R og S være en multiplikativt lukket delmængde af R. Et element m M kaldes en S-torsionselementet hvis der findes et element si S således, at s annihilates m, dvs. Især kan man tage for S sættet af regelmæssige elementer i ringen R og inddrive definitionen ovenfor.

Et element g af en gruppe G kaldes en torsion element i gruppen, hvis det har endelig orden, dvs., hvis der er et positivt heltal m, således at g = e, hvor e betegner identiteten element i gruppen, og g betegner produkt af m kopier af g. En gruppe kaldes en torsion gruppe, hvis alle dets elementer er torsion elementer, og en torsionsfri gruppe, hvis den eneste torsionselementet er identiteten element. Alle abelsk gruppe kan betragtes som et modul i ringen Z af heltal, og i dette tilfælde de to begreber torsion sammenfaldende.

Eksempler

  • Lad M være en fri modul over en ring R. Derefter følger umiddelbart fra de definitioner, at M er torsion-fri. Især enhver fri abelsk gruppe er torsion-fri og enhver vektorrum over et felt K er torsion-fri, når de ses som modulet i K.
  • I modsætning til eksempel 1, en hvilken som helst endelig gruppe er periodisk og endeligt genereret. Burnside problem spørger, om omvendt skal enhver finitely genereret periodisk gruppe være begrænset.
  • I det modulære gruppe, Γ opnået fra gruppen SL i to og to heltal matricer med enheden determinant ved at udskille sit centrum, ethvert nontrivial torsionselementet enten har orden to og er konjugeret til elementet S eller har orden tre og er konjugeret til element ST. I dette tilfælde behøver torsion elementer ikke udgør en undergruppe, fx S · ST = T, som har uendelig rækkefølge.
  • Den abelsk gruppe Q / Z, som består af de rationale tal, er periodisk, dvs. hvert element har endelig orden. Analogt modulet K / K over ringen R = K af polynomier i en variabel er ren vridning. Begge disse eksempler kan generaliseres som følger: Hvis R er en kommutativ domæne og Q er sit felt af fraktioner, er Q / R er en torsion R-modul.
  • Den torsion undergruppe af er, mens grupperne, er torsion-fri. Kvotienten af ​​en torsion-fri abelsk gruppe af en undergruppe er torsionsfri nøjagtigt, hvornår undergruppe er en ren undergruppe.
  • Overvej en lineær operator L handler på et endeligt-dimensionalt vektorrum V. Hvis vi betragter V som en F-modul i den naturlige måde, så V er en vridning F-modul.

Tilfælde af en hovedstol ideal domæne

Antag, at R er en vigtig ideelle domæne og M er en finitely-genereret R-modul. Så strukturen sætning for endeligt genereret moduler over en hovedstol ideal domæne giver en detaljeret beskrivelse af modulet M op til isomorfi. Især er det anført, at

hvor F er en fri R-modul i finite rang og T er torsion undermodul i M. Som konsekvens heraf enhver endeligt genereret torsion-modulet i R er gratis. Denne konsekvens holder ikke til mere generelle Kommutativ domæner, selv for R = K, ringen af ​​polynomier i to variable. For ikke-finitely genererede moduler, den ovennævnte direkte nedbrydning er ikke sandt. Torsion undergruppe af en abelsk gruppe kan ikke være en direkte summand af det.

Torsion og lokalisering

Antag, at R er en kommutativ domæne og M er en R-modul. Lad Q være kvotienten inden for ringen R. Derefter kan man overveje Q-modulet

fås fra M af udvidelsen af ​​skalarer. Da Q er et område, et modul over Q er et vektorrum, eventuelt uendelig-dimensional. Der er en kanonisk homomorfi af abelske grupper fra M til MQ, og kernen i denne homomorfi er netop torsion submodule T. Mere generelt, hvis S er en multiplikativt lukket delmængde af ringen R, så kan vi overveje lokalisering af R- modul M,

som er et modul over lokalisering RS. Der er en kanonisk kort fra M til MS, hvis kerne er netop S-vridning undermodul af M. Således vridning undermodul af M kan tolkes som det sæt af de elementer, der »forsvinde i lokalisering«. Den samme fortolkning fortsætter med at holde i den ikke-kommutativ indstilling for ringe opfylder Ore tilstand, eller i øvrigt til nogen ret nævner sæt S og højre R-modul M.

Torsion i homologisk algebra

Begrebet torsion spiller en vigtig rolle i homologisk algebra. Hvis M og N er to moduler over en kommutativ ring R, Tor funktorer giver en familie af R-moduler Tori. S-vridning af en R-modul M er kanonisk isomorf til Tor1. Symbolet Tor angiver de funktorer afspejler dette forhold med den algebraiske vridning. Dette samme resultat gælder for ikke-kommutative ringe samt længe den indstillede S er en rigtige nævneren sæt.

Abelian sorter

De torsionsfjedre elementer i en abelsk sort er torsion punkter eller, i en ældre terminologi, division point. På elliptiske kurver kan de beregnes i forhold til divisionens polynomier.

  0   0
Forrige artikel Arnold Raum
Næste artikel Cybiko

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha