I algebra, sætningen Chevalley-Advarsel indebærer, at visse polynomielle ligninger i tilstrækkeligt mange variabler over en finit felt har løsninger. Det blev bevist af Ewald Advarsel og en lidt svagere form for sætning, kendt som Chevalley sætning, blev bevist ved Chevalley. Chevalley sætning underforstået Artin 's og Dickson formodning, at endelige legemer er kvasi-algebraisk lukkede områder.

Redegørelse for de teoremer

Lad være et finit felt og være et sæt af polynomier, således at antallet af variabler opfylder

hvor er den samlede grad af. De sætninger er udsagn om de løsninger af følgende system af polynomielle ligninger

• Teorem Chevalley-Advarsel hedder det, at antallet af fælles løsninger er deleligt med karakteristisk for. Eller med andre ord, kardinaliteten af ​​forsvindende sæt er modulo.
• Chevalley sætning hedder det, at hvis systemet har trivielle løsning, dvs. hvis de polynomier har nogen konstante vilkår, så systemet også har en ikke-triviel løsning.

Chevalley sætning er en umiddelbar konsekvens af sætningen Chevalley-Advarsel da er mindst 2.

Begge sætninger er bedst muligt i den forstand, at givet nogen, listen har total grad og kun den trivielle løsning. Alternativt ved hjælp af blot én polynomium, kan vi tage f1 for at være den grad n polynomiet givet af normen af ​​x1a1 + ... + xnan hvor elementerne en danne grundlag for det endelige felt af orden p.

Bevis for Advarsel sætning

Lad.

Bemærkning: Hvis derefter

så summen over enhver polynomium i for grad mindre end forsvinder også.

Det samlede antal af fælles løsninger modulo af er lig med

fordi hver valgperiode er 1 for en løsning, og 0 ellers. Hvis summen af ​​de grader af polynomier er mindre end N så forsvinder ved ovennævnte bemærkning.

Artin formodning

Det er en konsekvens af Chevalley sætning, at endelige legemer er kvasi-algebraisk lukket. Dette var blevet conjectured af Emil Artin i 1935. Motivationen bag Artin formodning var hans observation, at kvasi-algebraisk lukkede felter har trivielle Brauer gruppe, sammen med det faktum, at endelige legemer har trivielle Brauer gruppe ved Wedderburn sætning.

Ax-Katz sætning

Den Ax-Katz sætning, opkaldt efter James Ax og Nicholas Katz, bestemmer mere præcist en effekt på kardinaliteten for at dividere antallet af løsninger; her, hvis er den største af de, så eksponenten kan tages som loftet funktion

Den Ax-Katz resultat har en fortolkning i Etale cohomology som delelighed resultat for de nuller og poler den lokale zeta-funktion. Nemlig den samme magt skel hver af disse algebraiske heltal.