Root test

I matematik, roden test er et kriterium for konvergensen af ​​en uendelig række. Det afhænger af mængden

hvor er vilkårene i serien, og anfører, at serien konvergerer absolut hvis denne mængde er mindre end én, men divergerer, hvis det er større end én. Det er især nyttigt i forbindelse med potensrækker.

Prøve

Roden test blev udviklet først af Augustin Louis Cauchy og så er undertiden kendt som Cauchy rod test eller Cauchy radikale test. For en række

roden test bruger antallet

hvor "lim sup" angiver den grænse overlegen, muligvis ∞. Bemærk, at hvis

konvergerer så lig C og kan anvendes i roden testen i stedet.

Roden Testen hedder det:

  • hvis C & lt; 1 derefter rækken konvergerer absolut,
  • hvis C & gt; 1 er rækken afviger,
  • hvis C = 1 og grænseværdierne tilgange strengt fra oven da serien divergerer,
  • ellers test er usikkert.

Der er nogle serier for hvilke C = 1 og rækken konvergerer, f.eks og der er andre, som C = 1 og serien divergerer, f.eks.

Anvendelse på potensrække

Denne test kan anvendes med en potensrække

hvor koefficienterne cn, og centrum p er komplekse tal og argumentet z er en kompleks variabel.

Vilkårene i denne serie vil derefter blive givet af en = cn. Man anvender derefter roden test til en som ovenfor. Bemærk, at nogle gange en serie som denne kaldes en potensrække "omkring p", fordi radius af konvergensen er radius R af de største interval eller disk centreret ved p, således at serien vil konvergere for alle punkter z strengt i det indre. En naturlig følge af roden, der anvendes på en sådan magt serien er, at konvergensradius præcist tager sig, at vi virkelig mener ∞ hvis nævneren er 0.

Bevis

Beviset for konvergens i en serie Σan er en anvendelse af sammenligningen test. Hvis vi for alle n ≥ N har derefter Da den geometriske serien konvergerer så gør ved sammenligningen test. Absolut konvergens i tilfælde af nonpositive en kan bevises på nøjagtig samme måde ved hjælp af

Hvis for uendeligt mange n, så en ikke konvergere til 0, således at rækken er divergent.

Bevis for konsekvens: For en potensrække Σan = Σcn, ser vi af det ovenstående, at serien konvergerer hvis der findes et N sådan, at for alle n ≥ N har vi

svarende til

for alle n ≥ N, hvilket indebærer, at vi, for at række at konvergere must have for alle tilstrækkeligt store n. Dette svarer til at sige

så nu det eneste andet sted, hvor konvergens er muligt, er, når

 og det vil ikke ændre konvergensradius da disse er kun de punkter, der ligger på grænsen af ​​intervallet eller skive, så

  0   0
Forrige artikel Big Pimpin '

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha