Repunit

I rekreative matematik, en repunit er et tal som 11, 111 eller 1111, der kun indeholder tallet 1 den simpleste form for repdigit. Udtrykket står for gentagen enhed og blev opfundet i 1966 af Albert H. Beiler i sin bog Recreations i Theory of Numbers.

En repunit prime er en repunit, der også er et primtal. I binær, disse er de almindeligt kendte Mersenne primtal.

Definition

Basestationens-b repunits defineres som

Således er antallet Rn består af N kopier af ciffer 1 i basen b repræsentation. De første to repunits basis b for n = 1 og n = 2 er

Især decimale repunits, der ofte omtales som blot repunits defineres som

Således er antallet Rn = Rn består af N kopier af ciffer 1 i basis 10 repræsentation. Sekvensen af ​​repunits basere 10 starter med

Tilsvarende er det repunits bunden 2 defineret som

Således er antallet Rn består af N kopier af ciffer 1 i bunden 2 repræsentation. Faktisk basen-2 repunits er de velkendte Mersenne tal Mn = 2 - 1, de starter med

Egenskaber

  • Alle repunit i hvilken som helst base, der har en sammensat antal cifre nødvendigvis komposit. Kun repunits har en førsteklasses antal cifre kan være primtal. Dette er en nødvendig, men ikke tilstrækkelig betingelse. For eksempel,
  • Enhver positiv multiplum af repunit Rn indeholder mindst n nonzero cifre i bunden b.
  • De eneste kendte numre, der er repunits med mindst 3 cifre i mere end én base på samme tid er 31 og 8191. Den Goormaghtigh formodninger siger, at der er kun disse to tilfælde.
  • Brug af pigeon-hullers princippet kan det let vises, at for hvert n og b således at n og b er indbyrdes primiske der findes en repunit i basen B, der er et multiplum af n. For at se denne overveje repunits R1, ..., Rn. Antag ingen af ​​Rk er deleligt med n. Fordi der er n repunits men kun n-1 ikke-nul rester modulo n findes to repunits Ri og Rj med 1≤i & lt; j≤n sådan, at Ri og Rj har samme rest modulo n. Heraf følger, at Rj - Ri har rest 0 modulo n, dvs. er deleligt med n. Rj - Ri består af j - i dem efterfulgt af I nuller. Således Rj - Ri = Rj-I x b. Da n opdeler venstre side den deler også den højre side, og da n og b er relative prime n skal opdele RJ-jeg modsiger den oprindelige antagelse.
  • Den Feit-Thompson formodning er, at Rq aldrig deler Rp to forskellige primtal p og q.

Faktorisering af decimaltal repunits

Mindste primfaktor af Rn er

Repunit primtal

Definitionen af ​​repunits var motiveret af rekreative matematikere søger primfaktorer af sådanne numre.

Det er let at vise, at hvis n er deleligt med en, så Rn er deleligt med Ra:

hvor er de cyklotomiske polynomiel og d intervaller over divisorer af n. For p prime ,, som har den forventede form af en repunit når X er substitueret med b.

For eksempel, 9 er deleligt med 3, og dermed R9 er deleligt med R3 i virkeligheden, 111111111 = 111 · 1001001. De tilsvarende cyklotomiske polynomier og er, og hhv. Således må for Rn at være prime n nødvendigvis primtal. Men det er ikke tilstrækkeligt for n til at være prime; for eksempel R3 = 111 = 3 · 37 er ikke prime. Bortset dette tilfælde af R3, kan p kun opdele Rn til prime n hvis p = 2kn + 1 for nogle k.

Decimal repunit primtal

Rn er et primtal for n = 2, 19, 23, 317, 1031, .... R49081 og R86453 er sandsynligvis prime. Den 3. april 2007 Harvey Dubner meddelt, at R109297 er en sandsynlig primtal. Han senere annoncerede der er ingen andre fra R86453 til R200000. Den 15. juli, 2007 Maksym Voznyy annoncerede R270343 at være nok prime, sammen med hans hensigt at søge til 400000 Pr november 2012 alle yderligere kandidater op til R2500000 er blevet testet, men ingen nye sandsynlige primtal er fundet indtil videre.

Det er blevet gættet, at der er uendeligt mange repunit primtal, og de synes at forekomme omtrent lige så ofte som det primtal sætning ville forudsige: eksponenten af ​​Nth repunit prime er generelt omkring et fast multiplum af eksponenten af ​​th.

De vigtigste repunits er en triviel delmængde af de permutable primtal, dvs, primtal, der forbliver prime efter enhver permutation af deres cifre.

Base 2 repunit primtal

Base 2 repunit primtal kaldes Mersenne primtal.

Base 3 repunit primtal

De første par basis 3 repunit primtal er

svarende til i

Base 4 repunit primtal

Det eneste basis 4 repunit prime er 5. og 3 altid deler når n er ulige og når n er lige. For n er større end 2, og begge er større end 3, så at fjerne faktor 3 stadig efterlader to faktorer større end 1, så antallet kan ikke være primtal.

Base 5 repunit primtal

De første par bund 5 repunit primtal er

svarende til i

Base 6 repunit primtal

De første par bund 6 repunit primtal er

svarende til i

Base 7 repunit primtal

De første par bund 7 repunit primtal er

svarende til i

Base 8 og 9 repunit primtal

Det eneste basis 8 eller base 9 repunit prime er 73., og 7 opdeler når n ikke er deleligt med 3, og når n er et multiplum af 3. og 2 altid deler både og.

Base 12 repunit primtal

De første par bund 12 repunit primtal er

svarende til i

Base 20 repunit primtal

De første par bund 20 repunit primtal er

svarende til i

Den mindste repunit prime af enhver fysisk talsystem b

Listen er om alle baser på op til 300.

Der er kun sandsynlige primtal for at b = 18, 51, 91, 96, 174, 230, 244, 259, og 284.

Ingen kendte repunit primtal eller Prps for at b = 152, 184, 185, 200, 210, 269 og 281.

På grund af algebra faktorisering, er der ingen repunit primtal for at b = 4, 9, 16, 25, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243 , 256 og 289.

Det forventes, at alle ulige primtal er på listen.

For negative baser, se Wagstaff prime.

Den mindste naturlige talsystem b, der er et primtal for prime p

Listen handler om de første 100 primtal.

Værdierne af b, der er perfekt beføjelser vises ikke på denne liste, fordi de ikke kan være i bunden af ​​en generaliseret repunit prime.

Liste over repunit primtal basen b

For mere information, se Repunit primtal i bunden -50 til 50, Repunit primtal i bunden 2 til 150 Repunit primtal i bunden -150 til -2, og Repunit primtal i bunden -200 til -2.

Algebra faktorisering af repunit numre

Hvis b er en perfekt strøm afviger fra 1, så er der højst én repunit i bunden b. Hvis n er et primtal magt, så alle repunit i bunden b er ikke prime bortset fra Rp og R2. Rp kan enten være primtal eller sammensatte, de tidligere eksempler, b = -216, -128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 osv, brevet eksempler, b = -243, -125 , -64, -32, -27, -8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, etc., og R2 kan kun være prime hvis b er negativ, en effekt på -2, for eksempel b = -8, -32, -128, -8192, etc., i virkeligheden, R2 kan også være sammensat, f.eks b = -512, - 2048, -32768, etc. Hvis n ikke er et primtal magt, så findes der ingen basis b repunit prime, for eksempel, b = 64, 729, b = 1024, og b = -1 eller 0. En anden særlig situation er b = -4k, med k positivt heltal, som har den aurifeuillean faktorisering, for eksempel b = -4 og b = -64, -324, -1024, -2500, -5184, .... Det er også formodede, at når b er hverken en perfekt magt eller -4k med k positivt heltal, så er der uendeligt mange basis b repunit primtal.

Historie

Selv om de ikke blev derefter kendt under dette navn, blev repunits i bunden 10 studeret af mange matematikere i det nittende århundrede i et forsøg på at arbejde ud og forudsige de cykliske mønstre af gentagne decimaler.

Det blev fundet meget tidligt, at for enhver prime p større end 5, den periode, hvor udvidelsen af ​​1 / p decimal er lig med længden af ​​det mindste repunit nummer, som er deleligt med s. Tabeller af den periode reciprokke primtal op til 60.000 var blevet offentliggjort af 1860 og tillod faktorisering sådanne matematikere som Reuschle af alle repunits op til R16 og mange større virksomheder. Ved 1880 havde endog R17 til R36 er indregnet, og det er mærkeligt, at, selv om Edouard Lucas viste ingen prime under tre millioner havde perioden nitten, var der ingen forsøg på at afprøve nogen repunit for primtal indtil tidligt i det tyvende århundrede. Den amerikanske matematiker Oscar Hoppe beviste R19 at være prime i 1916 og Lehmer og Kraitchik uafhængigt fundet R23 til at være prime i 1929.

Yderligere fremskridt i studiet af repunits ikke forekomme indtil 1960'erne, hvor computere er tilladt mange nye faktorer repunits skal findes, og hullerne i de tidligere tabeller af prime perioder korrigeret. R317 viste sig at være en sandsynlig prime circa 1966 og blev bevist prime elleve år senere, da R1031 viste sig at være den eneste yderligere mulige prime repunit med færre end ti tusind cifre. Det blev bevist prime i 1986, men søger efter yderligere prime repunits i det følgende årti konsekvent undladt. Der var imidlertid en stor side-udvikling på området generelle repunits, som resulterede i en lang række nye primtal og sandsynlige primtal.

Siden 1999 har fire yderligere sandsynligvis prime repunits blevet fundet, men det er usandsynligt, at nogen af ​​dem vil blive bevist prime i den nærmeste fremtid på grund af deres enorme størrelse.

De Cunningham projektet bestræber sig på at dokumentere de heltal factorizations af repunits til basen 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, og 12.

Demlo numre

De Demlo numrene 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., blev defineret af DR Kaprekar som kvadraterne af repunits, løse den usikkerhed, hvordan man fortsætte ud over den højeste ciffer, og navngivet efter Demlo togstation 30 miles fra Bombay på det daværende GIP Jernbane, hvor han tænkte på at undersøge dem.

  0   0
Forrige artikel Dataindsamling
Næste artikel Arne Duncan

Relaterede Artikler

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha