Reflekterende underkategori

I matematik er en underkategori A i kategori B siges at være reflekterende i B, når medtagelse functor fra A til B har en venstre adjungerede. Denne adjungerede kaldes undertiden en reflektor. Duelt, er A siges at være coreflective i B, når medtagelse functor har ret adjungerede.

Definition

En underkategori A i kategori B siges at være reflekterende i B, hvis for hver B-objekt B findes der en A-objekt og et B-morphism sådan, at for hver B-morphism findes der en unik A-morphism med.

Parret kaldes A-afspejling af B. morphism kaldes A-refleksion pil ..

Det svarer til at sige, at indlejring functor er adjungerede. Den coadjoint functor kaldes reflektor. Kortet er enheden for denne adjunction.

Reflektoren tildeler til A-objektet og for en B-morphism bestemmes af pendling diagram

Hvis alle A-refleksion pile er epimorphisms, så underkategori A siges at være epireflective. Ligeledes er det bireflective hvis alle refleksion pile er bimorphisms.

Alle disse begreber er specialtilfælde af den fælles generalisering -Reflekterende underkategori, hvor er en klasse af morfier.

Den -Reflekterende skrog af en klasse A af objekter er defineret som den mindste -Reflekterende underkategori indeholder A. Således kan vi tale om reflekterende skrog, epireflective skrog, extremal epireflective skrog mv

Dual forestillinger til ovennævnte begreber er coreflection, coreflection pil, coreflective underkategori, coreflective skroget.

Eksempler

Algebra

  • Kategorien af ​​abelske grupper Ab er en reflekterende underkategori af kategorien af ​​grupper, Grp. Reflektoren er den functor som sender hver gruppe til sin abelianization. I sin side, den kategori af grupperne er et reflekterende underkategori af kategorien af ​​inverse semigroups.
  • Tilsvarende kategorien Kommutativ associative algebraer er en reflekterende underkategori af alle associative algebraer, hvor reflektoren er quotienting af kommutatoren ideel. Dette bruges i konstruktionen af ​​den symmetriske algebra fra tensor algebra.
  • Duelt, den kategori af anti-kommutative associative algebraer er en reflekterende underkategori af alle associative algebraer, hvor reflektoren er quotienting ud af anti-kommutator ideal. Dette bruges i konstruktionen af ​​den ydre algebra fra tensor algebra.
  • Kategorien felter er en reflekterende underkategori af kategorien af ​​integrerede domæner. Reflektoren er den functor som sender hver integreret domæne til sit område af fraktioner.
  • Kategorien abelian torsion grupper er en coreflective underkategori af kategorien af ​​abelske grupper. Den coreflector er functor sender hver gruppe til sin torsion undergruppe.
  • De kategorier af elementære abelske grupper, abelian p-grupper og p-grupper er alle reflekterende underkategorier af kategorien af ​​grupper og kernerne af refleksion maps er vigtige genstande af undersøgelsen; se omdrejningspunkt undergruppe teorem.
  • Kategorien af ​​vektorrum over marken k er en reflekterende underkategori af kategorien af ​​sæt. Reflektoren er den functor som sender hvert sæt B i det frie vektorrum genereret af B over k, der kan identificeres med vektorrum af alle k værdsatte funktioner på B forsvindingspunkt uden et endeligt sæt. På samme måde, flere gratis byggeri funktorer er reflektorer af kategorien af ​​sæt onto tilsvarende reflekterende underkategori.

Topologi

  • Kolmogorov rum er et reflekterende underkategori af Top, kategorien af ​​topologiske rum, og Kolmogorov kvotienten er reflektoren.
  • Kategorien af ​​helt regelmæssige mellemrum CREG er en reflekterende underkategori af Top. Ved at tage Kolmogorov kvotienter, ser man, at den underkategori af Tychonoff rum er også reflekterende.
  • Kategorien af ​​alle kompakte Hausdorff rum er en reflekterende underkategori af kategorien af ​​alle Tychonoff rum. Reflektoren er givet ved Stone-Čech sammenkrølningen.
  • Kategorien af ​​alle komplette metriske rum med ensartet kontinuerlig kortlægninger er en reflekterende og fuld underkategori af kategorien af ​​metriske rum. Reflektoren er færdiggørelsen af ​​en metrisk rum på objekter, og udvidelsen af ​​tætheden på pile.

Funktionel analyse

  • Kategorien Banachrum er en reflekterende og fuld underkategori af kategorien af ​​normerede rum og afgrænset lineære operatører. Reflektoren er normen færdiggørelse functor.

Kategori teori

  • For enhver Grothendieck websted, topos af neg på et reflekterende underkategori af topos af presheaves på C, med den særlige yderligere egenskab, at reflektoren functor efterlades nøjagtig. Reflektoren er sheafification functor en: Presh → Sh, og adjungerede par er et vigtigt eksempel på en geometrisk morphism i topos teori.
  0   0
Forrige artikel Baseball positionering

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha