Projektiv tilslutning

I differential geometri, en projektiv forbindelse er en type Cartan forbindelse på en differentiabel manifold.

Strukturen af ​​en projektiv forbindelse er modelleret på geometri projektive rum, snarere end affine plads svarende til en affin forbindelse. Meget gerne affine forbindelser, selv om, projektive forbindelser også definere geodesics. Men disse geodesics ikke affinely parametriseret. Snarere de er projektivt parametriseret, hvilket betyder, at deres foretrukne klasse af parameterizations påvirkes af gruppen af ​​brøkdele lineære transformationer.

Ligesom en affin forbindelse har projektive forbindelser forbundet vridning og krumning.

Projektiv plads som model geometri

Det første skridt i at definere enhver Cartan forbindelse er at overveje den flade tilfælde: hvor forbindelsen svarer til Maurer-Cartan form på en homogen plads.

I det projektive indstilling, den underliggende manifold M i den homogene rum er den projektive rum RP, som vi skal repræsentere ved homogene koordinater. Symmetrien gruppe M er G = PSL. Lad H være den isotropi gruppe af punktet. Således M = G / H præsenterer M som en homogen plads.

Lad være Lie algebra af G, og af H. Bemærk at. Som matricer i forhold til den homogene grundlag, består af spor-fri × matricer:

Og består af alle disse matricer med = 0. I forhold til matrix repræsentation ovenfor Maurer-Cartan form af G er et system af 1-former, der opfylder de strukturelle ligninger

Projektive strukturer på mangfoldigheder

En projektiv struktur er en lineær geometri på en manifold, hvor to nærliggende punkter er forbundet med en linie på en unik måde. Desuden er et uendeligt lille kvarter af hvert punkt er udstyret med en klasse af Projektiv rammer. Ifølge Cartan,

Dette er analogt til Cartan forestilling om en affin-forbindelse, hvor nærheden er således forbundet og har en affin referenceramme, der transporteres fra den ene til den anden:

I moderne sprog, en projektiv struktur på en n-manifold M er en Cartan geometri forbillede projektive rum, hvor sidstnævnte betragtes som en homogen rum for PSL. Med andre ord er det en PSL-bundle udstyret med

  • en PSL-tilslutning
  • en reduktion med strukturen gruppe stabilisatoren af ​​et punkt i rummet projektiv

således at lodde form, der induceres af disse data er en isomorfi.

  0   0
Forrige artikel Basketball Australien
Næste artikel Christian Wiman

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha