Projektiv plads

I matematik kan en projektiv plads opfattes som sættet af linier ved oprindelsen af ​​et vektorrum V. De tilfælde, hvornår og er den reelle projektive linje og den reelle projektive plan, henholdsvis, hvor R betegner inden for reelle tal, R betegner bestilt par af reelle tal, og R betegner bestilt trillinger af reelle tal.

Ideen om en projektiv plads vedrører perspektiv, mere præcist til den måde, et øje eller et kamera projicerer en 3D-scene til et 2D-billede. Alle punkter, der ligger på en fremskrivning linje, der skærer med indgangen elev af kameraet, bliver projiceret op på et fælles billede punkt. I dette tilfælde vektorrummet er R med kameraet Indgangspupillen på oprindelse, og projektive plads svarer til billedpunkterne.

Projektive rum kan studeres som et separat felt i matematik, men anvendes også i forskellige anvendte felter, geometri i særdeleshed. Geometriske objekter, såsom punkter, linjer eller fly, kan gives en repræsentation som elementer i projektive rum baseret på homogene koordinater. Som følge heraf kan forskellige forbindelser mellem disse objekter beskrives på en enklere måde end det er muligt uden homogene koordinater. Desuden kan forskellige udsagn i geometri gøres mere konsekvent og uden undtagelser. For eksempel i standard geometri til flyet, to linjer altid skærer hinanden i et punkt, undtagen når de er parallelle. I en projektiv gengivelse af linjer og punkter eksisterer der imidlertid et sådant skæringspunkt selv for parallelle linier, og det kan beregnes på samme måde som andre skæringspunkter.

Andre matematiske områder, hvor projektive rum spiller en væsentlig rolle, er topologi, teorien om Lie grupper og algebraiske grupper og deres repræsentation teorier.

Introduktion

Som beskrevet ovenfor, Projektiv rum er et geometrisk objekt, som formaliserer udsagn som "Parallelle linjer skærer hinanden i uendelig". For konkrethed, vil vi give opførelsen af ​​den reelle projektive plan P i nogle detaljer. Der er tre tilsvarende definitioner:

  • Mængden af ​​alle linjer i R passerer gennem nulpunktet. Enhver sådan linje møder kugle med radius én centreret i oprindelsen præcis to gange, siger i og dens antipodal punkt.
  • P kan også beskrives at være punkterne på kuglen S, hvor hvert punkt P og dens antipodal punkt ikke skelnes. For eksempel er det punkt identificeret med, etc.
  • Endelig endnu en tilsvarende definition er det sæt af ækvivalens klasser af, dvs. 3-rummet uden oprindelse, hvor to punkter og svarer IFF der er en ikke-nul reelt tal λ, således at, dvs. ,,. Den sædvanlige måde at skrive et element af projektive plan, dvs ækvivalens klasse, der svarer til en ærlig punkt i R, er.

Den sidste formel går under navnet homogene koordinater.

I homogene koordinater, ethvert punkt med svarer til. Så der er to adskilte undergrupper af den projektive plan: at bestående af point for, og at der består af de resterende punkter. Sidstnævnte sæt kan opdeles på samme måde i to disjunkte delmængder, med point og. I det sidste tilfælde er x nødvendigvis nul, fordi oprindelsen var ikke en del af P. Dette sidste punkt svarer til. Geometrisk, den første delmængde, der er isomorf med R, er i billedet det gule øvre halvkugle eller tilsvarende nedre halvkugle. Den anden delmængde, isomorf til R, svarer til den grønne linje, eller, igen, ækvivalent lyset grønne linje. Endelig har vi den røde punkt eller tilsvarende lys røde punkt. Vi har således en disjunkte nedbrydning

Intuitivt og gjort præcist nedenfor, R ⊔ punkt er selve det reelle projektive line P. betragtes som en delmængde af P, kaldes det linjen i det uendelige, mens kaldes affine plan, dvs. blot den sædvanlige plan.

Det næste mål er at gøre de sige "parallelle linjer mødes på uendeligt" præcis. En naturlig bijection mellem planet i planet mappes på storcirkler hvis man også et par antipodal punkter på ækvator. Enhver to store cirkler skærer hinanden netop i to antipodal point. Store cirkler svarer til parallelle linjer skærer hinanden på ækvator. Så to linjer har præcis én skæringspunkt inde P. Dette fænomen er axiomatized i projektiv geometri.

Definition af Projektiv plads

Den virkelige Projektiv rum af dimension n eller projektive n-rum, P, er groft sagt det sæt af linjerne i R passerer gennem nulpunktet. For at definere det som et topologisk rum og som en algebraisk sort er det bedre at definere det som kvotienten rum R af ækvivalens relation "til at blive rettet ind med oprindelse". Mere præcist,

hvor ~ er ækvivalensrelationen defineret ved: hvis der er en ikke-nul reelle tal λ sådan, at.

Elementerne i projektiv plads kaldes almindeligvis point. De projektive koordinater for et punkt P er x0, ..., xn, hvor er ethvert element af den tilsvarende ækvivalens klasse. Dette er betegnet P =, kolon og konsollerne understreger, at højre side er en ækvivalens klasse, som er defineret op til multiplikation med en fra nul konstant.

I stedet for R, kan man tage ethvert område, eller endda en division ring, K. I disse tilfælde er det almindeligt at bruge notation for P. Hvis K er et finit felt orden q, notationen forenkles yderligere med PG. At tage de komplekse tal eller quaternions, opnår man den komplekse projektive rum P og kvaterniel Projektiv plads P.

Hvis n er en eller to, er det også kaldes projektiv linje eller projektiv plan hhv. Komplekset projektive linie kaldes også Riemann kuglen.

Lidt mere generelt til et vektorrum V, P defineret til at være, hvor to ikke-nul vektorer v1, v2 i V er ækvivalente, hvis de afviger med en ikke-nul skalar λ, dvs. ,. Vektorrummet behøver ikke at være finite-dimensional; således for eksempel, er teorien om Projektiv Hilbertrum.

Projektiv rummet som en manifold

Ovenstående definition af projektiv plads giver et sæt. Med henblik på differential geometri, der beskæftiger sig med mangfoldigheder, er det nyttigt at udstyre dette sæt med en manifold struktur.

Nemlig, at identificere et punkt af projektive rum med sine homogene koordinater, lad os overveje følgende undergrupper af den projektive rum:

Af definitionen af ​​projektive rum, deres forening er hele projektive rum. Desuden Ui er i bijektion med R via følgende kort:

.

Eksemplet Billedet viser P. (antipodal punkter er identificeret i P, men). Det er omfattet af to kopier af reelle linje R, som hver især dækker projektiv linje undtagen én punkt, som er "den" punkt i det uendelige.

Vi definerer først en topologi på projektiv plads ved at erklære, at disse kort skal være homeomorphisms, det er, er en delmængde af Ui er åben IFF sit image under ovennævnte isomorfi er en åben delmængde af R. Et vilkårligt delmængde A af P er åben, hvis alle kryds er åbne. Dette definerer en topologisk rum.

Manifolden struktur er givet ved ovennævnte kort, også.

En anden måde at tænke på den projektive linje er følgende: tage to kopier af affine linje med koordinater x og y, henholdsvis og lim dem sammen langs de delmængder x ≠ 0 og y ≠ 0 via kortene

Den resulterende manifold er projektiv linje. Diagrammerne givet af denne konstruktion er de samme som dem ovenfor. Lignende præsentationer findes for højere-dimensionale projektive rum.

Ovenstående nedbrydning i disjunkte delmængder læser i denne generelle:

denne såkaldte celle-nedbrydning kan bruges til at beregne ental cohomology af projektiv plads.

Alle ovenstående gælder for komplekse Projektiv plads, også. Komplekset projektiv linje P er et eksempel på en Riemann overflade.

Projektive rum i algebraisk geometri

Overdækningen af ​​de ovennævnte åbne delmængder viser også, at projektiv rum er en algebraisk sort, det er omfattet af affine n-rum. Opførelsen af ​​projektiv ordningen er en forekomst af Proj konstruktion.

Projektive rum i algebraisk topologi

Rigtig projektive n-rum har en helt ligetil CW kompleks struktur. Det vil sige, hvert n-dimensional reelle projektive rum har kun en n-dimensional celle.

Projektiv rum og affine rum

Der er nogle fordele ved den projektive plads sammenlignet med affine rum (f.eks P vs A). Af disse grunde er det vigtigt at vide, hvornår en given manifold eller sort er Projektiv, dvs. integrerer ind projektive rum. rigelig line bundter er designet til at løse dette spørgsmål.

Bemærk, at en projektiv rum kan dannes ved projectivization af et vektorrum, som linjer gennem oprindelsen, men kan ikke dannes ud fra en affin rum uden et valg af Basepoint. Det vil sige, affine rum er åbne underrum af projektive rum, som er kvotienter af vektorrum.

  • Projektiv rum er et kompakt topologisk rum, affin rum er ikke. Derfor Liouvilles sætning gælder at vise, at enhver holomorf funktion P er konstant. En anden konsekvens er, for eksempel, betyder, at integration af funktioner eller differentialformer på P ikke forårsage konvergenskriterierne problemer.
  • På en projektiv kompleks manifold X, er cohomology grupper af sammenhængende neg endeligt genereret .. I sprogbrug af algebraisk geometri, Projektiv rummet er korrekt. De ovennævnte resultater hold i denne sammenhæng, også.
  • For komplekse projektive rum, hver kompleks submanifold nødvendigvis en algebraisk sort. Dette er Chow sætning, det giver mulighed for direkte brug af algebraiske-geometriske metoder til disse ad hoc-analytisk definerede objekter.
  • Som beskrevet ovenfor, linjer i P eller mere generelt hyperplaner i P altid gør skærer hinanden. Dette udvider til ikke-lineære objekter, samt: passende at definere graden af ​​en algebraisk kurve, hvilket er omtrent graden af ​​polynomier nødvendige for at definere kurven, det er rigtigt, at to projektive kurver C1, af graden e og f skæringspunkter på nøjagtig ef punkter, tælle dem med multipliciteter. Dette anvendes for eksempel til at definere en gruppe struktur på de steder på en elliptisk kurve, lignende. Graden af ​​en elliptisk kurve er 3. Overvej linje, som skærer kurven nøjagtigt to gange, nemlig i og. Men inde P, er projektiv lukning af kurven givet ved homogene ligning der skærer linjen i tre punkter: ,, og.
  • Enhver projektive sortsgruppe, altså en projektiv sort, hvis punkter danner en abstrakt gruppe, er nødvendigvis en abelsk sort. Elliptiske kurver er eksempler på abelian sorter. Den kommutativitet mislykkes for ikke-projektive gruppe sorter, som eksemplet GLN viser.

Aksiomer for Projektiv plads

En projektiv rum S kan defineres axiomatically som et sæt P, sammen med et sæt L af delmængder af P, der opfylder disse aksiomer:

  • Hver to forskellige punkter p og q er i nøjagtig én linje.
  • Veblen s aksiom: Hvis a, b, c, d er særskilte punkter og linjer gennem AB og CD mødes, så det gør de linjer gennem ac og bd.
  • Enhver linje har mindst 3 point på det.

Den sidste aksiom eliminerer reducerbare sager, der kan skrives som en disjunkte forening af Projektiv rum sammen med 2-punkts linjer, der forbinder to punkter i forskellige projektive rum. Mere abstrakt, kan det defineres som en forekomst, der består af et sæt punkter P, et sæt L af linjer, og en incidens relation I med angivelse som peger ligge på hvilke linjer.

Strukturerne er defineret af disse aksiomer er mere generelle end dem, der opnås fra vektoren plads byggeri givet ovenfor. Hvis dimension er mindst tre derefter ved Veblen-Young teorem, er der ingen forskel. Men for dimensionen to der er eksempler, som opfylder disse aksiomer, der ikke kan konstrueres fra vektorrum. Disse eksempler ikke opfylder Sætning af Desargues og er kendt som ikke-Desarguesian fly. I dimensionen ét, ethvert sæt med mindst tre elementer opfylder aksiomer, så det er normalt at antage yderligere struktur for projektive linier defineret aksiomatisk.

Det er muligt at undgå den besværlige sager i lave dimensioner ved at tilføje eller modificere aksiomer, der definerer en projektiv plads. Coxeter giver en sådan udvidelse på grund af Bachmann. For at sikre at dimension er mindst to, erstatte tre point per linje aksiom oven af;

  • Der findes fire punkter, ingen hvoraf tre er collinear.

For at undgå ikke-Desarguesian fly, omfatter Fnok sætning som et aksiom;

  • Hvis de seks knudepunkter af en sekskant ligge skiftevis på to linjer, de tre punkter i krydset af par af modstående sider er collinear.

Og for at sikre, at vektoren rum er defineret over et felt, der ikke selv har karakteristiske omfatter Fanøs aksiom;

  • De tre diagonale punkter i et komplet firkant er aldrig collinear.

Et underrum af projektive rum er en delmængde X, således at enhver linie, der indeholder to punkter af X er en delmængde af X. Den fulde rum og det tomme rum er altid underrum.

Den geometriske dimension af rummet siges at være n, hvis det er det største antal, som er en strengt stigende kæde af underrum af denne formular:

Et underrum på en sådan kæde siges at have dimension. Underrum af dimension 0 kaldes point, de af dimension 1 kaldes linier og så videre. Hvis det fulde rum har dimension derefter eventuelle underrum af dimension kaldes en hyperplan.

Klassifikation

  • Dimension 0: Rummet er et enkelt punkt.
  • Dimension 1: Alle punkter ligger på den unikke linje.
  • Dimension 2: Der er mindst 2 linjer, og to linjer mødes. En projektiv plads til svarer til en projektiv plan. Disse er meget sværere at klassificere, da ikke alle af dem er isomorfe med en. De Desarguesian fly bevist Veblen-Young sætning, at hver Projektiv rum af dimension er isomorf med en, n-dimensionelle Projektiv plads over nogle division ring K.

Finite projektive rum og fly

Et endeligt Projektiv rummet er et projektiv rum, hvor P er en begrænset sæt af punkter. I ethvert endeligt Projektiv rum, hver linje indeholder det samme antal point og rækkefølgen af ​​rummet er defineret som en mindre end denne fælles nummer. For endelige projektive rum af dimension på mindst tre, Wedderburn teorem indebærer, at opdelingen ring, over hvilken projektive rum er defineret skal være et finit felt GF, hvis ordre q. En finite Projektiv rum defineret over så finit felt vil have point på en linje, så de to begreber ordre vil falde sammen. Notationally, er normalt skrevet som.

Alle finite felter i samme rækkefølge er isomorfe, så op til isomorfi, er der kun én finite Projektiv plads til hver dimension større end eller lig med tre, over et givet finit felt. Men i dimension to der er ikke-Desarguesian planer. Op til isomorfi der er

finite Projektiv fly af ordrer 2, 3, 4, ..., 10, henholdsvis. Er meget vanskeligt at beregne tallene ud over dette, og som ikke er bestemt bortset fra nogle nulværdier på grund af Bruck-Ryser teorem.

Den mindste projektiv plan er Fano plan, med 7 point og 7 linjer.

Morfier

Injektiv lineære afbildninger mellem to vektorrum V og W i samme felt k fremkalde kortlægninger af de tilsvarende projektive rum via:

hvor v er en ikke-nul element i V og betegner ækvivalensklasser af en vektor under definerer identifikation af de pågældende projektive rum. Da medlemmer af ækvivalens klasse afvige en skalar faktor og lineære afbildninger bevare skalære faktorer, er denne inducerede kort veldefineret. (Hvis T ikke er injektiv, vil det have en null plads større end {0};. I dette tilfælde defineret i klassen af ​​T er problematisk, hvis v er ikke-nul, og i null rummet I dette tilfælde opnår man en så -kaldet rationelle kort, se også birational geometri).

To lineære kort S og T i L inducere samme kort mellem P og P hvis og kun hvis de er forskellige fra en skalar multipel, der er, hvis T = λS for nogle λ ≠ 0. Så hvis man identificerer de skalare multipla af identiteten kortet med det underliggende felt, det sæt af k-lineære morfier fra P til P er simpelthen P (L).

De automorphisms kan beskrives mere konkret .. Ved hjælp af begrebet neg genereret af globale sektioner, kan det vises, at en algebraisk automorphism skal være lineære, dvs. kommer fra en automorphism af vektorrummet V. Sidstnævnte fra gruppen GL. Ved at identificere kort, som adskiller sig ved en skalar, man konkluderer

kvotienten gruppe GL modulo matricerne, som er skalære multipla af identiteten. (Disse matricer danner centrum for Aut.) Grupperne PGL kaldes projektive lineære grupper. De automorphisms af den komplekse projektive linie P kaldes Möbius transformationer.

Dual Projektiv plads

Når konstruktionen ovenfor påføres den dobbelte plads V snarere end V, opnår man den dobbelte projektive rum, som kan canonically identificeret med rummet af hyperplaner gennem oprindelsen af ​​V. Det vil sige, hvis V er n dimensionelle, så er p den Grassmannian af fly i V.

I algebraisk geometri, denne konstruktion giver mulighed for større fleksibilitet i opbygningen af ​​projektive bundter. Man ville gerne kunne knytte en projektiv plads til hver kvasi-kohærent neg E over en ordning Y, ikke kun de lokale gratis dem. Se EGAII, Kap. II, par. 4 for flere detaljer.

Generaliseringer

Severi-Brauer sorter algebraisk sorter over et felt k som bliver isomorf til projektive rum efter en forlængelse af basen feltet k.

En anden generalisering af Projektiv rum vægtes projektive rum; disse er selv specielle tilfælde af toriske sorter.

  0   0
Forrige artikel David d'Angers
Næste artikel Durga Vahini

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha