Par

I matematik, et par er en struktur på grupper af Lie type, der tillader en at give ensartede beviser for mange resultater, i stedet for at give et stort antal tilfælde med individuelle beviser. Groft sagt det viser, at alle sådanne grupper svarer til den generelle lineære gruppe over et felt. De blev opfundet af matematikeren Jacques bryster, og også nogle gange kendt som bryster systemer.

Definition

Et par er et par undergrupper B og N for en gruppe G, således at følgende aksiomer gælder:

  • G er genereret af B og N.
  • Skæringspunktet, H, af B- og N er en normal undergruppe af N.
  • Gruppen W = N / H frembringes af et sæt S af elementer wi af orden 2, for i nogle ikke-tom mængde I.
  • Hvis wi er et element af S og w er ethvert element af W, så wiBw er indeholdt i foreningen af ​​BwiwB og BWB.
  • Ingen generator wi normaliserer B.

Ideen med denne definition er, at B er en analog af de øverste trekantede matricer af generelle lineære gruppe Gin, H er en analog af de diagonale matricer, og N er en analog af normalizer af H.

Den undergruppe B er undertiden kaldes Borel undergruppe, H er undertiden kaldes Cartan undergruppe, og W kaldes Weyl gruppen. Parret er et Coxeter system.

Antallet af generatorer kaldes rang.

Eksempler

  • Antag, at G er nogen dobbelt transitive permutationsgruppe på et sæt X med mere end 2 elementer. Vi lader B være undergruppen af ​​G fastsættelse et punkt x, og vi Lad n være undergruppen fastsættelse eller udveksling 2 point x og y. Undergruppen H er da sættet af elementer fastsættelse både x og y, og W har orden 2 og dens nontrivial element er repræsenteret af noget udveksle x og y.
  • Omvendt, hvis G har et par rang 1, så virkningen af ​​G på sideklasser af B er dobbelt transitive. Så BN par rang 1 er mere eller mindre det samme som dobbelt transitive handlinger på sæt med mere end 2 elementer.
  • Antag, at G er den generelle lineære gruppe Gin over et felt K. Vi tager B at være den øvre trekantede matricer, H at være den diagonale matricer og N at være de monomiale matricer, dvs. matricer med præcis én ikke-nul værdi i hver række og søjle. Der er n - 1 generatorer WI, repræsenteret af matrixer fremstillet ved at bytte to tilstødende rækker af en diagonal matrix.
  • Mere generelt enhver gruppe af Lie type har strukturen af ​​en BN-par.
  • En reduktiv algebraiske gruppe over en lokal felt har en BN-pair, hvor B er en Iwahori undergruppe.

Egenskaber af grupper med en BN par

Kortet tager w til BWB er en isomorfi fra sættet af elementer af W til sæt af dobbelte sideklasser af B; dette er Bruhat nedbrydning G = BWB.

Hvis T er en delmængde af S lad W være undergruppen af ​​W genereret af T: Vi definerer og G = BWB at være standarden parabolsk undergruppe for T. undergrupperne af G indeholdende konjugater af B er parabolske undergrupper; konjugater af B kaldes Borel undergrupper. Disse er netop de standard Parabolic undergrupper.

Applikationer

BN-par kan bruges til at bevise, at mange grupper af Lie type er simpel modulo deres centre. Mere præcist, hvis G har en BN-pair, således at B er en opløselig gruppe, skæringspunktet af alle konjugater af B er trivielt, og sættet af generatorer af W ikke kan nedbrydes i to ikke-tomme pendling sæt, så G er simpel når det er en perfekt gruppe. I praksis alle disse betingelser med undtagelse af G være perfekt er nemme at kontrollere. Kontrol, at G er perfekt brug for nogle lidt rodet beregninger. Men viser, at en gruppe er perfekt er normalt langt nemmere end at vise den er enkel.

  0   0
Forrige artikel Apple Records

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha