Ligestilling af målinger

I undersøgelsen af ​​metriske rum i matematik, er der forskellige opfattelser af to målinger på samme underliggende rum er "det samme", eller tilsvarende.

I det følgende vil betegne en ikke-tom mængde og og vil betegne to målinger på.

Topologisk ækvivalens

De to målinger og siges at være topologisk ækvivalente, hvis de genererer den samme topologi på. Adjektivet "topologiske" er ofte droppet. Der er flere måder at udtrykke denne tilstand:

  • en delmængde er -åbne hvis og kun hvis den er -Open;
  • de åbne kugler "rede": for ethvert punkt og enhver radius findes der radier sådan, at
  • identiteten funktion er både -sammenhængende og -sammenhængende.

Følgende er tilstrækkelig, men ikke nødvendige betingelser for topologisk ækvivalens:

  • der findes en strengt voksende, kontinuerlig og subadditive sådan, at.
  • for hver, der findes positive konstanter og således, at for hvert punkt,

Stærk ækvivalens

To målinger og er stærkt tilsvarende, hvis og kun hvis der eksisterer positive konstanter og, således at der for hver,

I modsætning til den tilstrækkelig betingelse for topologisk ækvivalens anført ovenfor, stærk ækvivalens forudsætter, at der er et enkelt sæt konstanter, som gælder for hvert par af de steder i stedet for potentielt forskellige konstanter der er forbundet med hvert punkt i.

Stærk ækvivalens af to målinger indebærer topologisk ækvivalens, men ikke omvendt. En intuitiv grund hvorfor topologisk ækvivalens ikke indebærer stærk ækvivalens er, at bundne sæt under en metrisk også er afgrænset i henhold til en stærkt tilsvarende metrisk, men ikke nødvendigvis under en topologisk ækvivalent metrik.

I endeligt dimensionale rum, alle målinger induceret af p-normen, herunder euklidisk metrik, at taxaen metriske, og Chebyshev afstand, er stærkt tilsvarende.

Selv om to målinger er stærkt ækvivalente, ikke alle egenskaberne af de respektive metriske rum bevares. For eksempel kan en funktion fra det rum, i sig selv være en sammentrækning kortlægning under en metrisk, men ikke nødvendigvis i en stærkt ækvivalent én.

Ejendomme konserveret ved ækvivalens

  • Kontinuiteten i en funktion er bevaret, hvis enten domæne eller serien er remetrized af en tilsvarende metrisk, men ensartet kontinuitet bevares kun ved stærkt tilsvarende målinger.
  • Den differentiabilitet af en funktion er bevaret, hvis enten domæne eller serien er remetrized af en stærkt ækvivalent metrik.
  0   0
Forrige artikel 2004 W-League
Næste artikel Atentát

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha