Konvergent matrix

I den matematiske disciplin numerisk lineær algebra, når de på hinanden beføjelser en matrix T bliver mindre, er matricen T kaldes en konvergent matrix. En regelmæssig opdeling af en ikke-singulær matrix A resulterer i en konvergerende matrix T. En semi-konvergent opsplitning af en matrix A resulterer i en semi-konvergent matrix T. En generel iterativ fremgangsmåde konvergerer for hver indledende vektor, hvis T er konvergent, og under visse betingelser, hvis T er semi-konvergent.

Definition

Vi kalder en n × n-matrix T en konvergent matrix, hvis

for hvert i = 1, 2, ..., n og j = 1, 2, ..., n.

Eksempel

Lad

Computing successive beføjelser T, får vi

og generelt,

Siden

og

T er en konvergent matrix. Bemærk, at ρ = 1/4, hvor ρ repræsenterer den spektrale område på T, idet 1/4 er den eneste egenværdi af T.

Karakteriseringer

Lad T være en n × n matrix. De følgende egenskaber svarer til T er en konvergent matrix:

  •  for nogle naturlige norm;
  •  for alle naturlige normer;
  • ;
  •  for hver x.

Iterative metoder

En generel iterativ fremgangsmåde involverer en proces, der omdanner lineært ligningssystem

i et tilsvarende system af formen

for nogle matrix T og vektor C. Efter den indledende vektor X er valgt, er sekvensen af ​​tilnærmet løsning vektorer genereret ved at beregne

for hver k ≥ 0. For enhver oprindelig vektor x ∈ sekvensen defineret ved, for hver k ≥ 0 og C ≠ 0, konvergerer til den unikke opløsning af hvis og kun hvis ρ & lt; 1, dvs. T er en konvergent matrix.

Regelmæssig opdeling

En matrix opsplitning er et udtryk, som repræsenterer en given matrix som en sum eller en forskel i matricer. I systemet af lineære ligninger ovenfor, med en ikke-singulær, kan matricen A opdeles, dvs., som er skrevet som en forskel

så kan omskrives som ovenfor. Udtrykket er en regelmæssig opdeling af A hvis og kun hvis B ≥ 0 og C ≥ 0, dvs., B og C har kun ikke-negative indgange. Hvis opdelingen er en regelmæssig opdeling af matricen A og A ≥ 0, så ρ & lt; 1 og T er en konvergent matrix. Derfor fremgangsmåden konvergerer.

Semi-konvergent matrix

Vi kalder en n × n-matrix T en semi-konvergent matrix hvis grænsen

eksisterer. Hvis A er muligvis ental, men er konsistent, dvs., b er i området A, så sekvensen defineret ved konvergerer mod en løsning på for hver x ∈ hvis og kun hvis T er semi-konvergent. I dette tilfælde er opdelingen kaldes en semi-konvergent opdeling af A.

  0   0
Forrige artikel 000 Emergency
Næste artikel Canal & amp; River Trust

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha