Kompleks konjugerede root teorem

I matematik, den komplekse konjugerede rod sætning, at hvis P er et polynomium i én variabel med reelle koefficienter og a + bi er et rod af P med a og b reelle tal, så dens komplekse konjugerede a - bi er også et rod P.

Det følger heraf, at hvis graden af ​​en reel polynomium er ulige, skal den have mindst én reel rod. Denne omstændighed kan også bevises ved hjælp af mellemliggende værdi teorem.

Eksempler og konsekvenser

  • Polynomiet x + 1 = 0 har rødder ± i.
  • Enhver reel kvadratisk matrix af ulige grad har mindst én reel egenværdi. For eksempel, hvis matricen er ortogonale, derefter 1 eller -1 er en egenværdi.
  • Polynomiet

Korollar på ulige-graders polynomier

Det følger af den nuværende sætning og den grundlæggende sætning af algebra, at hvis graden af ​​en reel polynomium er ulige, skal den have mindst én reel rod.

Dette kan bevises som følger.

  • Da ikke-reelle komplekse rødder kommer i konjugerede par, der er et lige antal af dem;
  • Men et polynomium af ulige grad har et ulige antal rødder;
  • Derfor nogle af dem skal være reel.

Det kræver en vis pleje i tilstedeværelsen af ​​flere rødder; men en kompleks rod og dets konjugat har samme multiplicitet. Det kan også arbejdet omkring ved at overveje kun irreducible polynomier; nogen reel polynomium af ulige grad skal have en irreducibel faktor ulige grad, som skal have en reel rod af den begrundelse ovenfor.

Denne konsekvens kan også direkte bevist ved hjælp af mellemliggende værdi sætning.

Enkel bevis

Et bevis for sætning er som følger:

Overvej polynomiet

hvor alle ar er reelle. Antag nogle komplekst tal ζ er en rod P, der er P = 0. Det skal påvises, at

samt.

Hvis P = 0, så

som kan sættes som

Nu

og i betragtning af de egenskaber kompleks konjugering,

Da

Det følger heraf, at

Det er,

  0   0
Forrige artikel Doetinchem
Næste artikel Cercozoa

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha