Kommutator

I matematik, kommutatoren giver en indikation af, i hvilket omfang en bestemt binær operation ikke være kommutativ. Der er forskellige definitioner, der anvendes i gruppe teori og ring teori.

Gruppe teori

Kommutatoren af ​​to elementer, g og h, en gruppe G, er det element

Det er lig med koncernens identitet, hvis og kun hvis g og h pendler. Undergruppen af ​​G frembragt af alle kommutatorer kaldes afledt gruppe eller kommutatoren undergruppe af G. Bemærk, at man skal overveje undergruppen frembragt af det sæt af kommutatorer fordi generelt det sæt af kommutatorer er ikke lukket under gruppen drift. Kommutatorer anvendes til at definere Nilpotent og løsbare grupper.

Ovenstående definition af kommutatoren bruges af nogle gruppe teoretikere, såvel som i hele denne artikel. Men mange andre gruppe teoretikere definerer kommutatoren som

Identiteter

Kommutator identiteter er et vigtigt redskab i gruppe teori. Udtrykket a angiver den konjugat af et med x, defineret som xa x.

  •  og
  •  og
  •  og

Identitet 5 er også kendt som Hall-Witt identitet. Det er en gruppe-teoretisk analog af Jacobi identitet for ring-teoretiske kommutator.

N.B. Ovenstående definition af konjugat af et med x bruges af nogle gruppe teoretikere. Mange andre gruppe teoretikere definere konjugat af et med x som xax. Dette er ofte skrevet. Lignende identiteter hold i disse konventioner.

En bred vifte af identiteter bruges der er sande modulo visse undergrupper. Disse kan være særligt nyttige i studiet af løsbare grupper og Nilpotent grupper. For eksempel, i en hvilken som helst gruppe sekund beføjelser opfører godt

Hvis den afledte undergruppe er centrale, så

Ring teori

Kommutatoren af ​​to elementer A og B i en ring eller en associativ algebra er defineret ved

Det er nul, hvis og kun hvis a og b pendler. I lineær algebra, hvis to endomorphisms af et rum er repræsenteret ved pendling matricer i forhold til én basis, så de er så repræsenteret i forhold til hver basis. Ved at bruge kommutatoren som en Lie beslag, kan hver associativ algebra blive forvandlet til en Lie algebra.

Den anticommutator af to elementer A og B i en ring eller en associativ algebra er defineret ved

Undertiden beslagene + anvendes også. Den anticommutator anvendes sjældnere end kommutatoren, men kan bruges for eksempel til at definere Clifford algebraer, Jordan algebraer og anvendes til at udlede Dirac ligningen i partikelfysik.

I fysik, det er et vigtigt overordnet princip i kvantemekanik. Kommutatoren af ​​to operatører, der handler på et Hilbert rum er et centralt begreb i kvantemekanik, da det kvantificerer hvor godt de to observable beskrevet af disse operatører kan måles samtidigt. Usikkerheden Princippet er i sidste ende et teorem om sådanne kommutatorer, i kraft af Robertson-Schrödinger forhold. I fase rum, er ækvivalente kommutatorer af funktion stjerne biprodukter kaldet Moyal beslag, og er helt isomorf til Hilbert-rum kommutator strukturer nævnt.

Identiteter

Kommutatoren har følgende egenskaber:

Lie-algebra relationer:

Den anden forbindelse kaldes anticommutativity, mens den tredje er Jacobi identitet.

Yderligere relationer:

  • , Hvor er anticommutator defineret ovenfor.

Hvis A er en fast bestanddel af en ring ℜ, kan den anden yderligere forhold også tolkes som en Leibniz regel for kortet givet ved B ↦. Med andre ord, kortet DA definerer en afledning på ringen ℜ.

Følgende identitet involverer indlejrede kommutatorer, ligger til grund for Campbell-Baker-Hausdorff udvidelse af log, er også nyttig:

Anvendelse af den samme ekspansion udtrykker ovennævnte Lie gruppe kommutator i form af en serie af indlejrede Lie beslag kommutatorer,

Disse identiteter afvige lidt for anticommutator

Sorterede ringe og algebraer

Når vi beskæftiger os med graduerede algebraer er kommutatoren normalt erstattes af gradueret kommutator, defineret i homogene komponenter som

Afledninger

Især hvis man beskæftiger sig med flere kommutatorer, en anden notation viser sig at være nyttige involverer adjungerede repræsentation:

Så er en afledning og er lineær, dvs., og og en Lie algebra homomorfi, dvs ,, men det er ikke altid en algebra homomorfi, dvs. identitet ikke holder i almindelighed.

Eksempler:

  0   0

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha