Karakteristisk undergruppe

I matematik, især på området for abstrakt algebra kendt som gruppe teori, en karakteristisk undergruppe er en undergruppe, der er invariant under alle automorphisms moderselskabets gruppen. Fordi konjugering er en automorphism, hver karakteristisk undergruppe er normal, men ikke hver normal undergruppe er karakteristisk. Eksempler på karakteristiske undergrupper omfatter kommutatoren undergruppe og centrum af en gruppe.

Definitioner

Et karakteristisk undergruppe af en gruppe G er en undergruppe H, der er invariant under hver automorphism G. Det vil sige,

for hver automorphism φ G betegner billedet af H under φ).

Sætningen "H er en karakteristisk undergruppe af G" er skrevet

Karakteristisk vs normal

Hvis G er en gruppe, og g er et fast element i G, så konjugation kortet

er en automorphism G. En undergruppe af G, der er invariant under alle indre automorphisms kaldes normalt. Da en karakteristisk undergruppe er invariant under alle automorphisms, hver karakteristisk undergruppe er normal.

Ikke alle normal undergruppe er karakteristisk. Her er flere eksempler:

  • Lad H være en gruppe, og lad G være den direkte produkt H × H. Så undergrupperne {1} × H og H × {1} er både normale, men hverken er karakteristisk. Især ingen af ​​disse undergrupper er invariant under automorphism → der skifter de to faktorer.
  • For et konkret eksempel på dette, lad V være Klein fire-gruppe. Da denne gruppe er abelsk, hver undergruppe er normalt; men hver permutation af de tre ikke-identitet elementer er en automorphism af V, så de tre undergrupper af orden 2 ikke characteristic.Here Overvej H = {e, a} og overveje automorphism.Then T er ikke indeholdt i H.
  • I quaternionen gruppe af orden 8, hvor hver af de cykliske undergrupper af orden 4 er normalt, men ingen af ​​disse er karakteristiske. Men undergruppen {1, -1} er karakteristisk, da det er den eneste undergruppe af orden 2.

Bemærk: Hvis H er den unikke undergruppe af en gruppe G, H og derefter er karakteristisk i G.

  • Hvis n er lige, er dihedral gruppe af orden 2n har tre undergrupper af indeks to, som alle er normale. En af disse er den cykliske undergruppe, som er karakteristisk. De andre to undergrupper er dihedral; disse er permuteres af en ydre automorphism af moderselskabet gruppen, og er derfor ikke karakteristisk.
  • "Normalitet" er ikke transitiv, men Karakteristisk har en transitive egenskab, nemlig hvis H Char K og K normale i G derefter H normal i G.

Sammenligning med andre undergruppe egenskaber

Distinguished undergrupper

Et beslægtet begreb er, at en fornem undergruppe. I dette tilfælde undergruppen H er invariant under anvendelser af Surjective endomorphisms. For en endelig gruppe dette er det samme, fordi surjectivity indebærer injektivitet, men ikke for en uendelig gruppe: en surjektiv endomorfien er ikke nødvendigvis en automorphism.

Fuldt invariante undergrupper

For en endnu stærkere begrænsning, et fuldt karakteristisk undergruppe H af en gruppe G er en gruppe forbliver invariant under hvert endomorfien af ​​G; med andre ord, hvis f: G → G er enhver homomorfi, så f er en undergruppe af H.

Verbale undergrupper

Et endnu stærkere begrænsning er verbal undergruppe, som er et billede af et fuldt invariant undergruppe af en fri gruppe med en homomorfi.

Beholdere

Hver undergruppe, der er fuldt karakteristisk er helt sikkert fornemme, og derfor karakteristisk; men en egenskab eller endda skelnes undergruppe behøver ikke være fuldt karakteristisk.

I midten af ​​en gruppe er altid en fremtrædende undergruppe, men det er ikke altid tilstrækkelig karakteristisk. Den endelig gruppe af orden 12, Sym × Z / 2Z har en homomorfi tager til, 0) som tager centret 1 × Z / 2Z ind i en undergruppe af Sym × 1, som opfylder centret kun i identitet.

Forholdet mellem disse undergruppe egenskaber kan udtrykkes som:

Eksempler

Finite eksempel

Overvej gruppe G = S3 × Z2. Centrum af G er sin anden faktor Z2. Bemærk, at den første faktor S3 indeholder undergrupper isomorfe til Z2, for eksempel {identitet,}; Lad f: Z2 → S3 være morphism kortlægning Z2 på den angivne undergruppe. Så sammensætningen af ​​projektionen af ​​G på dens anden faktor Z2, efterfulgt af f, efterfulgt af optagelse af S3 til G som sin første faktor, giver et endomorfien af ​​G, hvorefter billedet af centrum Z2 ikke er indeholdt i centrum , så her centrum er ikke en tilstrækkelig karakteristisk undergruppe af G.

Cykliske grupper

Hver undergruppe af en cyklisk gruppe er karakteristisk.

Undergruppe funktorer

Den afledte undergruppe af en gruppe er en verbal undergruppe. Torsion undergruppe af en abelsk gruppe er en fuldt invariant undergruppe.

Topologiske grupper

Identiteten komponent i en topologisk gruppe er altid en karakteristisk undergruppe.

Transitivitet

Den egenskab, at egenskab eller fuldt kendetegn er transitiv; Hvis H er en karakteristisk undergruppe af K og K er en karakteristisk undergruppe af G, H og derefter er en karakteristisk undergruppe af G.

Selv om det ikke er sandt, at enhver normal undergruppe af en normal undergruppe er normal, det er rigtigt, at enhver karakteristisk undergruppe af en normal undergruppe er normalt. Tilsvarende mens det ikke er sandt, at enhver fornem undergruppe af en fornem undergruppe udmærker, det er rigtigt, at enhver fuldt karakteristisk undergruppe af en fornem undergruppe udmærker.

Kort om Aut og Slut

Hvis, derefter hver automorphism af G inducerer en automorphism af kvotienten gruppe G / H, som giver et kort.

Hvis H er tilstrækkelig karakteristisk i G, derefter analogt hver endomorfien af ​​G inducerer et endomorfien af ​​G / H, som giver et kort.

  0   0
Forrige artikel 1940 i skak
Næste artikel Dong Hoi

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha