Kant-of-the-kile teorem

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Januar 11, 2016 Elsba Faye K 0 3

I matematik, Bogoliubov kant-of-the-kile sætningen indebærer, at holomorfe funktioner på to "kiler" med en "kant" i almindelige er analytiske fortsættelser af hinanden forudsat de begge giver samme kontinuert funktion på kanten. Det anvendes i kvantefeltteori til at konstruere den analytiske fortsættelse af Wightman funktioner. Formuleringen og den første bevis for sætning blev præsenteret af Nikolay Bogoliubov på den internationale konference om Teoretisk Fysik, Seattle, USA og også udgivet i bogen "Problemer i Theory of Dispersion Relations". Yderligere beviser og generaliseringer af sætningen blev givet af R. Jost og H. Lehmann, F. Dyson, H. Epstein, og af andre forskere.

Den endimensionale tilfælde

Kontinuerlig grænseværdier

I en dimension, kan et simpelt tilfælde af kanten-af-det-kile sætning angives som følger.

  • Antag, at f er en kontinuerlig med kompleks værdi funktion på komplekse plan, der er holomorf på den øvre halvplan, og på den nederste halvplan. Så er det holomorf overalt.

I dette eksempel kræver de to kiler er den øvre halvplan og den nedre halvplan, og deres fælles kant er den reelle akse. Dette resultat kan bevises fra Morera sætning. Faktisk en funktion er holomorf forudsat sin integreret runde enhver kontur forsvinder; en kontur som krydser den reelle akse kan brydes op i konturerne i de øvre og nedre halve fly og integralet runde disse forsvinder ved hypotese.

Fordelingsmæssige grænseværdier på en cirkel

Jo mere generelle tilfælde er formuleret i form af distributioner. Dette er teknisk enkleste i tilfælde, hvor den fælles grænse er enhedscirklen i det komplekse plan. I så fald holomorfe funktioner f, g i regionerne og har Laurent udvidelser

absolut konvergent i de samme områder og har fordelingsmæssige grænseværdier givet af den formelle Fourierrækker

Deres fordelingsmæssige grænseværdier er ens, hvis for alle n. Det er så elementært, at den fælles Laurent serien konvergerer absolut i hele regionen.

Fordelingsmæssige grænseværdier på et interval

Generelt gives en åben interval på den reelle akse og holomorfe funktioner defineret i og tilfredsstillende

for nogle ikke-negativt heltal N, kan defineres grænsen værdier som fordelinger på den reelle akse ved formlerne

Eksistens kan bevises ved at bemærke, at under hypotesen, er den th kompleks derivat af en holomorf funktion, som strækker sig til en kontinuert funktion på grænsen. Hvis f er defineret som ovenfor, og under den reelle akse og F er fordelingsfunktionen defineret på rektanglet ved formlen

derefter F lig ud for den reelle akse og fordelingen er foranlediget af distribution på den reelle akse.

Navnlig hvis hypoteserne i kanten-af-det-kile sætning gælder, dvs, så

Ved elliptisk regelmæssighed det så følger, at funktionen F er holomorf i.

I dette tilfælde elliptisk regularitet kan udledes direkte fra det faktum, at det er kendt at tilvejebringe en grundlæggende løsning for Cauchy-Riemann operatør.

Brug af Cayley transformere mellem cirklen og den reelle linje, kan dette argument omformuleres i en standard måde i form af Fourierrækker og Sobolev rum på cirklen. Faktisk lad og være holomorfe funktioner defineret udvendige og indvendige til nogle bue på enheden cirkel, således at lokalt har de radiale grænser i nogle Sobelev rummet, derefter lade

ligningerne

kan løses lokalt på en sådan måde, at de radiale grænser for G og F tendens lokalt til den samme funktion i en højere Sobolev rum. For k stort nok, denne konvergens er ensartet ved Sobolev indlejre teorem. Ved argumentet for kontinuerte funktioner, F og G derfor lappe at give en holomorf funktion i nærheden af ​​lysbuen og dermed så gør f og g.

Det generelle tilfælde

En kile er et produkt af en kegle med nogle sæt.

Lad C være en åben kegle i den virkelige vektorrum R, med toppunkt på oprindelsen. Lad E være en åben delmængde af R, kaldet kanten. Skriv W for kilen i komplekset vektorrum C, og skrive W 'for den modsatte kile. Så de to kiler W og W 'mødes ved kanten E, hvor vi identificerer E med produktet fra E med spidsen af ​​keglen.

  • Antag, at f er en kontinuert funktion på union, der er holomorf på begge kilerne W og W '. Så kant-of-the-kile læresætning siger, at f er også holomorf på E.

Betingelserne for sætningen til at være sandt, kan blive svækket. Det er ikke nødvendigt at antage, at f er defineret på hele kilerne: det er tilstrækkeligt at antage, at det er defineret nær kanten. Det er heller ikke nødvendigt at antage, at f er defineret eller konstant på kanten: det er tilstrækkeligt at antage, at de funktioner, der er defineret på en af ​​kilerne har samme fordelingsmæssige grænseværdier på kanten.

Anvendelse på kvantefeltteori

I kvantefeltteori de Wightman distributioner er grænseværdier for Wightman funktioner W afhængigt af variabler zi i complexification af Minkowski rumtid. De er defineret og holomorf i kilen, hvor den imaginære del af hver Zi-Zi-1 ligger i det åbne positive timelike kegle. Ved permutering de variabler, vi får n! forskellige Wightman funktioner defineret i n! forskellige kiler. Ved at anvende kanten-of-the-kile sætning kan man udlede, at de Wightman funktioner er alle analytiske fortsættelser af samme holomorf funktion, der er defineret på en tilsluttet område indeholdende alle n! kiler.

Forbindelse med hyperfunctions

Kant-of-the-kile sætning har en naturlig tolkning på det sprog, hyperfunctions. En hyperfunktion er omtrent en sum af grænseværdier for holomorfe funktioner, og kan også opfattes som noget i retning af en "fordeling af uendelig orden". Den analytiske bølgefront sæt en hyperfunktion ved hvert punkt er en kegle i cotangens rum af dette punkt, og kan opfattes som en beskrivelse af de retninger, som singulariteten på det tidspunkt bevæger sig.

I kanten-af-det-kile sætning, har vi en fordeling f på kanten, givet som de grænseværdier for to holomorfe funktioner på de to kiler. Hvis en hyperfunktion er grænsen værdien af ​​en holomorf funktion på en kile, så dens analytiske bølgefront sæt ligger i det dobbelte af den tilsvarende konus. Så det analytiske bølgefront sæt f ligger i duals af to modstående kegler. Men skæringspunktet mellem disse duale er tom, så den analytiske bølgefront sæt f er tom, hvilket indebærer, at f er analytisk. Dette er kant-of-the-kile teorem.

I teorien om hyperfunctions der er en udvidelse af kanten-of-the-kile sætning til det tilfælde, hvor der er flere kiler i stedet for to, kaldet Martineau kant-of-the-kile teorem. Se bogen af ​​Hörmander for detaljer.

  0   0
Forrige artikel Cyclone Berit
Næste artikel Evangelii Nuntiandi

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha