Geometrisk progression

I matematik, en geometrisk progression, også kendt som en geometrisk sekvens, er en sekvens af tal, hvor hvert ord efter den første er fundet ved at multiplicere den foregående med en fast, antallet forskelligt fra nul kaldes fælles forhold. For eksempel sekvensen 2, 6, 18, 54, ... er en geometrisk progression med fælles forhold 3. Ligeledes 10, 5, 2,5, 1,25, ... er en geometrisk sekvens med fælles forholdet 1/2.

Eksempler på en geometrisk sekvens er potenser r af et fast antal r, såsom 2 og 3. Den generelle form af en geometrisk sekvens er

hvor r ≠ 0 er fælles forhold og A er en skalafaktor, svarende til sekvensen start værdi.

Elementære egenskaber

Det n'te sigt af et geometrisk sekvens med en startværdi og fælles forholdet R er givet ved

Sådan en geometrisk sekvens følger også den rekursive relation

Generelt for at kontrollere, om en given sekvens er geometrisk, man simpelthen tjekker, om successive poster i sekvensen alle har samme forhold.

Den fælles forhold på en geometrisk sekvens kan være negativ, hvilket resulterer i en alternerende sekvens, med tal, der skifter fra positiv til negativ og tilbage. For eksempel

er en geometrisk sekvens med fælles forholdet -3.

Opførslen af ​​en geometrisk sekvens afhænger af værdien af ​​den fælles forhold.
Hvis den fælles forholdet er:

  • Positive, de vilkår vil alle være den samme tegn som den første periode.
  • Negative, vilkårene skifter mellem positive og negative.
  • Større end 1, vil der være eksponentiel vækst i retning af positiv eller negativ uendeligt.
  • 1, progression er en konstant sekvens.
  • Mellem -1 og 1, men ikke er nul, vil der være eksponentiel henfald mod nul.
  • -1, Progression er en vekslende sekvens
  • Mindre end -1, for de absolutte værdier er eksponentiel vækst mod uendelig, på grund af den alternerende tegn.

Geometriske sekvenser viser eksponentiel vækst eller eksponentielt henfald, i modsætning til den lineære vækst i en aritmetisk progression, såsom 4, 15, 26, 37, 48, .... Dette resultat blev taget af T.R. Malthus som den matematiske fundament for hans Princip for Befolkning. Bemærk, at de to former for progression er beslægtede: exponentiating hver løbetid en aritmetisk progression giver en geometrisk progression, mens du tager logaritmen af ​​hver mandatperiode i en geometrisk progression med en positiv fælles forhold giver en aritmetisk progression.

Et interessant resultat af definitionen af ​​en geometrisk progression er, at for enhver værdi af den fælles ratio, tre på hinanden følgende udtryk a, b og c vil tilfredsstille følgende ligning:

hvor b anses for at være det geometriske gennemsnit mellem a og c.

Geometrisk serie

En geometrisk serie er summen af ​​tallene i en geometrisk progression. For eksempel:

Lade en være den første valgperiode, m være antallet af termer, og r være den konstante, at hver term multipliceres med for at få den næste valgperiode, er det beløb, givet ved:

I ovenstående eksempel, dette giver:

Formlen virker for nogen reel tal a og r. For eksempel:

Afledning

At udlede denne formel, først skrive en generel geometrisk serie som:

Vi kan finde en enklere formel for dette beløb ved at gange begge sider af ovenstående ligning med 1 - r, og vi vil se, at

da alle de øvrige vilkår annullere. Hvis r ≠ 1, kan vi omarrangere ovenfor for at få den bekvemme formel for en geometrisk serie, der beregner summen af ​​n udtryk:

Relaterede formler

Hvis man skulle begynde beløbet ikke fra k = 0, men fra en anden værdi, siger m, derefter

Differentiering denne formel med hensyn til F giver os mulighed for at nå frem til formler for summer af form

For eksempel:

For en geometrisk serie, der kun indeholder endda beføjelser r ganges med 1 - r:

Derefter

Ækvivalent, tage r som fælles forhold og bruge standardformuleringen.

For en serie med kun ulige beføjelser r

og

Uendelig geometrisk række

En uendelig geometrisk række er en uendelig række, hvis successive termer har en fælles forhold. En sådan række konvergerer hvis og kun hvis den absolutte værdi af den fælles forholdet er mindre end én. Dens værdi kan derefter beregnes ud fra de endelige sum formler

Siden:

Derefter:

For en serie, der kun indeholder endda beføjelser,

og kun ulige beføjelser,

I tilfælde, hvor summen ikke starter på k = 0,

Formlerne ovenfor angivne gælder kun for | r | & lt; 1. Sidstnævnte formel er gyldig i hvert Banach algebra, så længe normen af ​​r er mindre end én, og også inden for p-adic numre, hvis | r | p & lt; 1. Som i tilfældet for en begrænset sum, kan vi differentiere at beregne formler for relaterede beløb. For eksempel,

Denne formel virker kun for | r | & lt; 1 samt. Fra denne, følger det, at for | r | & lt; 1,

Også den uendelig række 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ er en elementær eksempel på en serie, der konvergerer absolut.

Det er en geometrisk serie, hvis første led er 1/2 og hvis fælles forholdet er 1/2, så dens sum er

Den inverse af ovennævnte serien er 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ er et simpelt eksempel på en alternerende serie, der konvergerer absolut.

Det er en geometrisk serie, hvis første led er 1/2 og hvis fælles forhold er -1/2, så dens sum er

Komplekse tal

Summation formel for geometrisk serie forbliver gyldig, selv når den fælles forholdet er et komplekst tal. I dette tilfælde den betingelse, at den absolutte værdi af r være mindre end 1 bliver, at modulus for r være mindre end 1. Det er muligt at beregne summen af ​​nogle ikke-indlysende geometrisk serie. For eksempel overveje forslaget

Beviset for dette kommer fra det faktum, at

som er en konsekvens af Eulers formel. Substituere dette i den oprindelige serie giver

Dette er forskellen på to geometriske serier, og så det er en enkel anvendelse af formlen for uendelige geometriske serie, der fuldender bevis.

Produkt

Produktet fra en geometrisk progression er produktet af alle betingelser. Hvis alle betingelser er positive, så det kan hurtigt beregnes ved at tage det geometriske gennemsnit af progressionen første og sidste valgperiode, og hæve det betyde til magten givet med antallet af termer.

Bevis:

Lad produktet være repræsenteret af P:

Nu udfører multiplikationer, konkluderer vi, at

Anvendelse af summen af ​​aritmetiske serie, vil udtrykket udbytte

Vi rejser begge sider til den anden magt:

Derfor

der konkluderer beviset.

Forholdet til geometri og Euclid arbejde

Bøger VIII og IX i Euklids elementer analyserer geometriske progressioner og give flere af deres egenskaber.

  0   0
Forrige artikel Dandoqa

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha