De Föppl-von Karman ligninger, opkaldt efter august Föppl og Theodore von Kármán, er et sæt af lineære partielle differentialligninger, der beskriver de store omlægninger af tynde flade plader. Med applikationer lige fra design af undersøiske skrog til de mekaniske egenskaber af cellevæggen, er notorisk vanskelige at løse, og tage følgende form, ligningerne:

hvor E er Youngs modul på pladematerialet, υ er Poissons forhold, h er tykkelsen af ​​pladen, w er out-of-plane deformation af pladen, P er den eksterne normalkraft per arealenhed af pladen , σαβ er Cauchy stress tensor, og α, β er indekser, der tager værdier på 1 eller 2. 2-dimensional biharmonic operatør defineres som

Ovenstående ligning kan udledes kinematiske forudsætninger og de konstitutive relationer for pladen. Ligninger er de to ligninger til bevarelse af bevægelsesmængden i to dimensioner, hvor det antages, at de ud af planet spændinger er nul.

Gyldigheden af ​​Föppl-von Karman ligninger

Mens Föppl-von Karman ligninger er af interesse ud fra et rent matematisk synspunkt, den fysiske validiteten af ​​disse ligninger er tvivlsom. Ciarlet stater: De todimensionale von Karman ligninger for plader, der oprindeligt foreslået af von Karman, spiller en mytisk rolle i anvendt matematik. Mens de har været rigeligt, og tilfredsstillende, studerede fra den matematiske synspunkt, for så vidt angår bl.a. forskellige spørgsmål om eksistens, regelmæssighed og tvedeling af deres løsninger, deres fysiske soliditet er ofte alvorligt spørgsmålstegn. Årsager omfatter de kendsgerninger, som

• teorien afhænger en omtrentlig geometri, der ikke er klart defineret
• en given variation af stress over et tværsnit antages vilkårligt
• en lineær konstitutive relation bruges der ikke svarer til en kendt relation mellem veldefinerede mål for stress og belastning
• nogle komponenter af stamme vilkårligt ignoreres
• der er en sammenblanding mellem reference og deformerede konfigurationer, som gør teorien uanvendelig til de store deformationer, som det var tilsyneladende udtænkt.

Betingelser, hvorunder disse ligninger er faktisk gældende og vil give rimelige resultater, når løst diskuteres i Ciarlet.

Ligninger i form af Airy stress-funktion

De tre Föppl-von Karman ligninger kan reduceres til to ved at indføre Airy stress funktion, hvor

Derefter ovenstående ligninger bliver

Ren bøjning

For ren bøjning af tynde plader ligningen for ligevægt, hvor

er kaldt bøjnings- eller cylindrisk stivhed af pladen.

Kinematiske antagelser

Ved afledningen af ​​Föppl-von Karman ligninger den vigtigste kinematiske antagelse er den overflade normaler til pladens plan forbliver vinkelret på pladen efter deformation. Det antages også, at de i planet forskydninger og ændringen i tykkelsen af ​​pladen er ubetydelige. Disse forudsætninger indebærer, at forskydningen felt ui pladen kan udtrykkes som

Denne form for felt forskydningen implicit ud fra, at mængden af ​​rotation af pladen er lille.

Relationer Strain-forskydning

Komponenterne i den tredimensionale Lagrangian Green stamme tensor defineres som

Substitution af udtrykkene for feltet forskydningen i ovenstående giver

For små stammer, men moderate rotationer, de højere udtryk ordens, der ikke kan overses, er

Forsømme alle andre højere vilkår orden, og håndhæve kravet om, at pladen ikke ændrer dens tykkelse, de stamme tensor komponenter reducerer til von Karman stammer

Stress-strain relationer

Hvis vi antager, at Cauchy stress tensor komponenter lineært er relateret til von Karman stammer ved Hookes lov, pladen er isotropisk og homogen, og at pladen på under et plan stress tilstand, vi har σ33 = σ13 = σ23 = 0 og

Udvidelse af vilkårene, de tre ikke-nul spændinger er

Stress resultants

Stress resultants i pladen er defineret som

Derfor

og

Løsninger er nemmere at finde, når de styrende ligninger er udtrykt i stress resultants snarere end i planet belastninger.

Föppl-von_Kármán ligninger i form af stress resultants

De Föppl-von_Kármán ligninger er typisk afledt med en energi tilgang ved at overveje variationer af intern energi og det arbejde, som ydre kræfter. En lignende fremgangsmåde kan bruges til at skrive disse ligninger i form af stress resultants. De resulterende styrende ligninger er