Finite ring

I matematik, mere specifikt abstrakt algebra, et endeligt ring er en ring, der har et endeligt antal elementer. Hver finit felt er et eksempel på et endeligt ring, og additivet del af enhver finite ring er et eksempel på en abelsk endelig gruppe, men begrebet finite ringe i deres egen ret har en nyere historie.

Som med finite grupper, kompleksiteten af ​​klassificeringen afhænger af kompleksiteten af ​​det primære faktorisering af m. Hvis m er kvadratet på en prime, for eksempel, er der netop elleve ringe med orden m. På den anden side, kan der kun være to grupper med orden m; som begge er abelsk.

Teorien om finite ringe er mere kompleks end for finite abelske grupper, da enhver endelig abelsk gruppe er den additive gruppe på mindst to nonisomorphic finite ringe: det direkte produkt af kopier af, og nul ringen. På den anden side, teorien finite ringe er enklere end ikke nødvendigvis abelian endelige grupper. For eksempel klassificering af finite simple grupper var en af ​​de store gennembrud i det 20. århundredes matematik, dens bevis spænder over tusinder af tidsskriftet sider. På den anden side, enhver finite simple ring er isomorf med ringen af ​​n-by-n matricer over et finit felt orden q.

Antallet af ringe med m elementer, for ma naturligt tal, er angivet under i On-Line Encyclopedia of Integer sekvenser.

Tælling

I 1964 foreslog David Singmaster følgende problem i den amerikanske Mathematical Monthlysmile "Hvad er rækkefølgen af ​​de mindste ikke-triviel ring med identitet, som ikke er et felt Find to sådanne ringe med denne minimale orden Er der flere Hvor mange ringe.? af orden fire er der? " Man kan finde en løsning ved D.M. Bloom i en to-siders dokumentation for, at der er elleve ringe af orden 4, hvoraf fire har en multiplikativ identitet. Faktisk fire-element ringe indføre kompleksiteten af ​​emnet. Der er tre ringe end den cykliske gruppe C4 og otte ringe over Klein fire-gruppe. Der er en interessant udstilling af de diskriminerende værktøjer i Gregory Dresdens noter.

I forbindelse med ikke-kommutivitet i finite ringe blev beskrevet i 1968 i samme tidsskrift af K. Eldrige i to sætninger: Hvis ordren m af et finit ring med 1 har en terning-fri factorization, så er kommutativ. Og hvis en ikke-kommutativ finite ring med 1 har rækkefølgen af ​​en førsteklasses kubik, så ringen er isomorf til den øverste trekantede 2 × 2 matrix ring over Galois inden for det primære. Studiet af ringe af orden terningen af ​​en førsteklasses blev yderligere udviklet af R. Raghavendran i 1969. I 1973 Proceedings of Japan Academy 49: 795-9 offentliggjorte Robert Gilmer og Joe Mott papir "Associative ringe af orden p". Næste Flor og Wessenbauer lavet forbedringer på terningen-of-a-prime sag. Endelige arbejde på isomorfi klasser kom med VG Antipkin og VP Elizarov skriver i den sibiriske Matematisk Journal. De beviser, at for p & gt; 2, antallet af klasser er 3p + 50.

Der er tidligere referencer i emnet finite ringe, som Robert Ballieu og Scorza.

Disse er nogle af de forhold, der er kendt om antallet af finite ringe af en bestemt rækkefølge:

  • Der er to finite ringe af orden p.
  • Der er fire finite ringe af orden pq.
  • Der er elleve finite ringe af orden p.
  • Der er toogtyve finite ringe af orden pq.
  • Der er halvtreds-to finite ringe af orden otte.
  • Der er 3P + 50 finite ringe af orden p, p & gt; 2.

Antallet af ring med n elementer er angivet under i On-Line Encyclopedia of Integer sekvenser.

Wedderburn s teoremer

Der er andre dybe aspekter til teorien om finite ringe, bortset fra simpel tælling. For eksempel Wedderburn lille sætning hævder, at enhver endelig division ring er nødvendigvis kommutativ. Nathan Jacobson senere opdagede endnu en tilstand, som garanterer kommutativitet af en ring:

Hvis der eksisterer et heltal sådan, at for hvert element r af R, så er R kommutativ.

Hvis r = r for hver r, er ringen kaldes en boolesk ring. Flere generelle betingelser, som garanterer kommutativitet af en ring er også kendt.

Endnu en læresætning af Wedderburn har, som sin konsekvens, et resultat der viser, at teorien om finite simple ringe er forholdsvis ligetil i naturen. Mere specifikt enhver finite simple ring er isomorf med ringen af ​​n med n matricer over et finit felt orden q. Dette følger af to teoremer af Joseph Wedderburn oprettet i 1905 og 1907. På den anden side, klassificering af finite simple grupper var en af ​​de store gennembrud i det tyvende århundredes matematik, dens bevis spænder over tusinder af tidsskriftet sider. Derfor, i nogle henseender, teorien om finite ringe er enklere end for endelige grupper.

Finit felt

Teorien om endelige legemer er måske det vigtigste aspekt af finite ring teori på grund af sin intime forbindelser med algebraisk geometri, Galois teori og talteori. En vigtig, men temmelig gamle aspekt af teorien er klassifikationen af ​​endelige legemer:

  • Rækkefølgen eller antal elementer af et finit felt lig p, hvor p er et primtal kaldes karakteristisk for området, og n er et positivt heltal.
  • For hvert primtal p og positivt heltal n, der findes et finit felt med p elementer.
  • To endelige legemer med samme rækkefølge er isomorfe.

På trods af den klassificering, endelige legemer er stadig et aktivt område af forskning, herunder de seneste resultater på Kakeya formodninger og åbne problemer med størrelsen af ​​mindste primitive rødder.

  0   0
Forrige artikel Mordet på Connie Franklin
Næste artikel UEFA Kvinder Euro 2013

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha