Eulers fortsatte fraktion formel

I den analytiske teori om fortsatte fraktioner, Eulers fortsatte fraktion formel er en identitet der forbinder en vis meget generel uendelig række med en uendelig fortsat fraktion. Udgivet første gang i 1748, blev det i første omgang betragtes som en simpel identitet forbinder et endeligt beløb med en endelig fortsat brøkdel på en sådan måde, at en udvidelse til det uendelige sag var umiddelbart indlysende. I dag er det mere fuldt værdsat som et nyttigt redskab i analytiske angreb på det generelle konvergens problem for uendelige fortsatte fraktioner med komplekse elementer.

Den oprindelige formel

Euler udledt formlen som en identitet der forbinder en begrænset sum af produkter med en endelig fortsat fraktion.

Identiteten er let oprettet ved induktion på n, og er derfor anvendelig i grænsen: hvis udtrykket til venstre er udvidet til at repræsentere en konvergent uendelig række, kan udtrykket på højre også udvides til at repræsentere en konvergent uendelig fortsat fraktion.

Eulers formel i moderne notation

Hvis

er en fortsat fraktion med komplekse elementer og ingen af ​​nævnerne Bi er nul, kan en sekvens af nøgletal {ri} defineres ved

For x og ri så defineret, kan disse ligheder bevises ved induktion.

Her ligestilling skal forstås som ækvivalens, i den forstand, at n'te konvergerende af hver fraktion fortsat er lig med den n'te partielle sum af serien vist ovenfor. Så hvis rækken viste er konvergent - eller ligeligt konvergent, da ai-og bi er er funktioner af nogle komplekse variable z - så de fortsatte fraktioner også konvergere eller konvergerer ensartet.

Eksempler

Eksponentialfunktionen

Eksponentialfunktionen e er en hel funktion med en potensrække ekspansion, der konvergerer ensartet på hver afgrænset domæne i komplekse plan.

Anvendelsen af ​​Eulers fortsatte fraktion formel er ligetil:

Anvende en ækvivalens forvandling, der består af at rydde fraktionerne dette eksempel er forenklet til

og vi kan være sikre på, at denne fortsatte fraktion konvergerer ensartet på hver afgrænset domæne i komplekse plan, fordi det svarer til magten serien for e.

Den naturlige logaritme

Taylorrækken for de vigtigste gren af ​​den naturlige logaritme i nabolaget af z = 1 er velkendt. Som erkender, at log = log - log, følgende serier let afledt:

Denne serie konvergerer, når | z | & lt; 1 og kan også udtrykkes som en sum af produkter:

Anvendelse Eulers fortsatte fraktion formel til dette udtryk viser, at

og ved hjælp af en ækvivalens transformation til at klare alle de fraktioner resultater i

Dette fortsatte fraktion konvergerer, når | z | & lt; 1, fordi det svarer til den række, hvorfra det blev afledt.

En fortsat fraktion til π

Vi kan bruge det foregående eksempel involverer primære gren af ​​den naturlige logaritme funktion til at konstruere en fortsat brøkdel repræsentation af π. Først kan vi konstatere, at

Indstilling z = i det foregående resultat, og huske på, at i = -1, får vi straks

  0   0
Forrige artikel Aífe

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha