Enestående objekt

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Maj 14, 2016 Vagn Wilke E 0 4

Mange grene af matematik undersøgelse objekter af en given type og bevise en klassifikation teorem. Et fælles tema er at klassifikationen resulterer i en række serier af genstande og et endeligt antal undtagelser, der ikke passer ind i nogen serien. Disse er kendt som ekstraordinære objekter.

Ofte spiller disse ekstraordinære objekter en yderligere og vigtig rolle i emnet. Overraskende er de usædvanlige objekter i en gren af ​​matematikken ofte relateret til de usædvanlige objekter i andre.

Et beslægtet fænomen er usædvanlig isomorfi, når to serier er generelt forskellige, men enige om nogle små værdier.

Regelmæssige polyedre

De prototypiske eksempler på usædvanlige objekter opstår i klassificeringen af ​​regelmæssige polyedre. I to dimensioner er en række regelmæssige n-Gons for n ≥ 3. I alle dimensioner over 2 finder vi analoger af terningen, tetraeder og oktaeder. I tre dimensioner finder vi to mere regulære polyedre - dodekaedret og ikosaeder - gør fem platoniske legemer. I fire dimensioner har vi i alt seks regulære polyedre, herunder 120-cellen, 600-celle og 24-celle. Der er ikke andre regulære polyedre; i højere dimensioner de eneste regulære polyedre er af den hyperkubus, simplex, orthoplex serier. I alle dimensioner tilsammen, er der derfor tre serier og fem ekstraordinære polyedre.

Mønstret er lignende, hvis ikke-konvekse polyedre er inkluderet. I to dimensioner der er en regelmæssig stjerne polygon for hver rationel nummer p / q & gt; 2. I tre dimensioner er der fire Kepler-Poinsot polyedre, og i fire dimensioner ti Schläfli-Hess polychora; i højere dimensioner er der ingen ikke-konvekse regelmæssige tal.

Disse kan generaliseres til Tessellations af andre rum, især ensartede Tessellations, især tilings af euklidisk rum, som har særlige objekter og tilings af hyperbolsk rum. Der er forskellige ekstraordinære objekter i dimension under 6, men i dimensionen 6 og over de eneste regulære polyedre / tilings / hyperbolske tilings er simplex, hyperkubus, cross-polytope og hyperkubus gitter.

Schwarz trekanter

Relateret til tilings og regelmæssig polyedre, der foreligger ekstraordinære Schwarz trekanter, især Möbius trekanter. I området er der 3 Möbius trekanter, der svarer til de 3 ekstraordinære platonisk legeme grupper, mens der i den euklidiske plan er der 3 Möbius trekanter, der svarer til de 3 særlige trekanter: 60-60-60, 45-45-90, og 30 -60-90. Der er yderligere ekstraordinære Schwarz trekanter på området og euklidiske plan. Derimod i hyperbolske plan er der en 3-parameter familie af Möbius trekanter, og ingen usædvanlige.

Finite simple grupper

De finite simple grupper er blevet klassificeret i en række serier samt 26 sporadiske grupper. Af disse 20 er undergrupper eller subquotients af monster-gruppen, der omtales som "Happy Family", mens 6 ikke, og betegnes som "pariaer".

Flere af de sporadiske grupper er relateret til Leech gitter, især den Conway gruppen CO1, som er automorphism gruppen af ​​Leech gitter, quotiented af dens centrum.

Division algebraer

Der er kun tre associative division algebraer over reelle tal - de reelle tal, de komplekse tal og de quaternions. Den eneste ikke-associative division algebra er algebra af octonions. De octonions er forbundet til en lang række særlige genstande. For eksempel den usædvanlige formelt rigtige Jordan algebra er Albert algebra of 3 af 3 selvadjungerede matricer over octonions.

Simple Lie grupper

De enkle Lie grupper danner en række serier mærket A, B, C og D. Derudover er der de exceptionelle grupper G2, F4, E6, E7, E8. Disse sidste fire grupper kan ses som symmetri grupper af projektive planer end O, C⊗O, H⊗O og O⊗O henholdsvis hvor o Er octonions og tensor produkter er over reelle tal.

Klassificeringen af ​​Lie grupper svarer til klassificeringen af ​​rodsystemer og dermed de ekstraordinære Lie grupper svarer til ekstraordinære rodsystemer og ekstraordinære Dynkin diagrammer.

Supersymmetriske algebraer

Der er et par usædvanlige objekter med supersymmetri. De Lie superalgebras G i 31 dimensioner og F i 40 dimensioner og Jordan superalgebras K3 og K10 er de vigtigste finite-dimensionelle eksempler.

Unimodul gitre

Op til isometri der kun er én selv unimodul gitter i 15 dimensioner eller mindre E8 gitter. Op at dimensionere 24 er der kun én selv unimodul gitter uden rødder, agterliget gitter. Tre af de sporadiske simple grupper blev opdaget af Conway under behandlingen af ​​automorphism gruppen af ​​Leech gitter. For eksempel CO1 er automorphism gruppen selv modulo ± 1. Grupperne CO2 og Co3, samt en række andre sporadiske grupper, der opstår som stabilisatorer af forskellige undergrupper af den Leech gitter.

Koder

Nogle koder, som også skiller sig ud som ekstraordinære genstande, især den perfekte binære Golay kode, som er nært beslægtet med den Leech gitter. Den Mathieu Gruppen, en af ​​de sporadiske simple grupper, er den gruppe af automorphisms af den udvidede binære Golay kode og fire flere af de sporadiske simple grupper opstår som forskellige former for stabilisator undergruppe af.

Blok designs

En enestående blok design er Steiner-systemet S, hvis automorphism gruppe er den sporadisk simpel Mathieu gruppe.

Ydre automorphisms

Visse familier af grupper generisk har en vis ydre automorphism gruppe, men i særlige tilfælde de har andre, usædvanlige ydre automorphisms.

Blandt familier af finite simple grupper, det eneste eksempel er i automorphisms af symmetriske og alternerende grupper: for den alternerende gruppe har et udvendigt automorphism og symmetriske gruppe har ingen ydre automorphisms. Men, for der er en usædvanlig ydre automorphism af, og tilsvarende, den ydre automorphism gruppen af ​​ikke men snarere.

Hvis man i stedet betragter A6 som projektive særlige lineære gruppe PSL, så den ydre automorphism er ikke usædvanlige; således exceptionalness kan ses som følge af den usædvanlige isomorfi Denne ekstraordinære ydre automorphism realiseres indersiden af ​​Mathieu gruppen M12 og tilsvarende M12 virker på et sæt af 12 elementer i 2 forskellige måder.

Blandt Lie grupper, spin gruppen Spin har en usædvanlig stor ydre automorphism gruppe, hvilket svarer til de ekstraordinære symmetrier af Dynkin diagrammet D4. Dette fænomen omtales som trialitet.

Den ekstraordinære symmetri af D4 diagram giver også anledning til Steinberg grupperne.

Algebraisk topologi

De fem eller seks mangfoldigheder af Kervaire invariant én, som findes i dimension og muligvis 126, men ikke højere, er ekstraordinære genstande relateret til eksotiske sfærer. Det formodede, at disse vedrører de Rosenfeld projektive planer og ekstraordinære Lie algebraer, på grund af ligheder i dimensioner, men ingen forbindelse er etableret.

Tilslutninger

Talrige forbindelser er blevet observeret mellem nogle, men ikke alle, af disse usædvanlige objekter. Mest almindelige er objekter relateret til 8 og 24 dimensioner, at bemærke, at 24 = 8 · 3. Derimod paria grupper skiller sig ud, som navnet antyder.

8 dimensioner

  • De octonions er 8-dimensionelle.
  • E8 gitter kan realiseres som de integrerede octonions.
  • De særlige Lie grupper kan ses som symmetrier af octonions og strukturer afledt af octonions; Endvidere er E8 algebra relateret til E8 gitter, som notation indebærer.
  • Trialitet sker til Spin, som også forbinder til 8 · 3 = 24.

24 dimensioner

  • Agterliget gitteret er 24-dimensional.
  • De fleste sporadiske simple grupper kan være relateret til Leech gitter, eller mere bredt uhyret.
  • Den ekstraordinære Jordan algebra har en repræsentation i form af 24 × 24 reelle matricer sammen med Jordan produkt reglen.

Andre fænomener

Disse objekter er forbundet til forskellige andre fænomener i matematik, der kan betragtes overraskende, men ikke selv "ekstraordinære". For eksempel i algebraisk topologi, 8-fold virkelige Bott periodicitet kan ses som kommer fra octonions. I teorien om modulære former, den 24-dimensionelle karakter af Leech gitter ligger til grund for tilstedeværelsen af ​​24 i formlerne for Dedekind eta funktion og den modulære diskriminant, hvilken forbindelse uddybes af monstrøse måneskin, som relaterede modulære funktioner monster gruppen .

Fysik

I strengteori og superstrengteori vi ofte finde, at bestemte dimensioner er udpeget som følge af ekstraordinære algebraiske fænomener. For eksempel bosonic strengteori kræver en rumtid for dimension 26, som er direkte relateret til tilstedeværelsen af ​​24 i Dedekind eta-funktionen. Tilsvarende er de mulige dimensioner af supergravitation relateret til dimensionerne af divisionens algebraer.

Ordinære objekter

Patologier

"Ekstraordinære" objekt er reserveret til objekter, der er usædvanlige, hvilket betyder sjældne, undtagelsen, ikke for uventede eller ikke-standard objekter. Disse uventede-but-typiske fænomener i almindelighed benævnt patologisk, såsom intetsteds differentiable funktioner, eller "eksotiske", som i eksotiske områder - der er eksotiske kugler i vilkårligt høje dimension, og i mange dimensioner fleste sfærer er eksotiske.

Extremal objekter

Der må sondres usædvanlige genstande fra extremal objekter: dem, der falder i en familie, og er de mest ekstreme eksempel ved en vis grad er af interesse, men ikke usædvanligt i den måde usædvanlige objekter. For eksempel det gyldne snit φ har den enkleste fortsatte fraktion tilnærmelse, og derfor er sværest at tilnærme med rationals; men det er blot en af ​​mange sådanne uendeligt kvadratiske numre.

Tilsvarende Schwarz trekanten er den mindste hyperbolske Schwarz trekant, og den tilhørende trekant gruppen er af særlig interesse, er den universelle Hurwitz gruppen, og således er forbundet med de Hurwitz kurver, den maksimalt symmetriske algebraiske kurver. Men det falder i en familie af sådanne trekanter, ,, etc.), og mens de mindste, er ikke usædvanlige eller i modsætning til de andre.

Tilslutninger

Mange af de usædvanlige objekter i matematik og fysik har vist sig at være forbundet med hinanden. Formodninger som den monstrøse moonshine gisninger viser, hvordan, for eksempel er Monster gruppen tilsluttet String Theory. Teorien om modulære former viser, hvordan E8 er forbundet til Monster gruppen. Andre interessante forbindelser omfatter hvordan Leech gitter er tilsluttet via Golay-kode til nabomatricen af ​​dodecahedron. Nedenfor er et sind kort, der viser, hvordan nogle af de usædvanlige objekter i matematisk fysik er relateret.

Tilslutningerne kan til dels forklares ved at tænke på de algebraer som et tårn af gitter vertex operatør algebraer. Det bare så sker det, at de vertex algebraer i bunden er så enkle, at de er isomorf til velkendte ikke-vertex algebraer. Således tilslutningerne kan ses blot som en konsekvens af nogle gitre bliver sub-gitre andres.

Supersymmetries

Jordan superalgebras er et parallelt sæt usædvanlige objekter med supersymmetri. Det er de Lie superalgebras som er relateret til Lorentz gitre. Dette emne er mindre udviklet, så forbindelserne mellem objekterne er mindre udviklet. Der er nye formodninger parallelt med den monstrøse moonshine conjectures for disse super-objekter, der involverer forskellige sporadiske grupper.

  0   0

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha