Elementær algebra

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Februar 8, 2016 Henry Paus E 0 73

Elementær algebra omfatter nogle af de grundlæggende begreber i algebra, en af ​​de vigtigste grene af matematik. Det er typisk lært at gymnasieelever og bygger på deres forståelse af matematik. Hvorimod aritmetiske omhandler angivne tal, algebra introducerer mængder uden faste værdier, kendt som variabler. Denne brug af variabler indebærer en anvendelse af algebraisk notation og en forståelse af de generelle regler for de operatører, der blev indført i matematik. I modsætning til abstrakt algebra, elementær algebra er ikke bekymret med algebraiske strukturer uden for rammerne af reelle og komplekse tal.

Brugen af ​​variabler til at betegne mængder giver generelle relationer mellem mængder, der skal formelt og præcist til udtryk, og dermed muliggør løsning af en bredere vifte af problemer. De fleste kvantitative resultater inden for videnskab og matematik udtrykkes som algebraiske ligninger.

Algebraisk notation

Algebraisk notation beskriver, hvordan algebra er skrevet. Det følger visse regler og konventioner, og har sin egen terminologi. For eksempel udtryk har følgende komponenter:


1: Exponent, 2: Koefficient, 3: sigt, 4: operatør, 5: konstant,: variabler

En koefficient er en numerisk værdi, som multiplicerer en variabel. Et udtryk er en addend eller et summand, en gruppe af koefficienter, variabler, konstanter og eksponenter, der kan adskilles fra de øvrige vilkår ved plus og minus operatører. Letters repræsenterer variable og konstanter. Efter sædvane bogstaver i begyndelsen af ​​alfabetet typisk bruges til at repræsentere konstanter, og de mod slutningen af ​​alfabetet bruges til at repræsentere variabler. De er som regel skrevet i kursiv.

Algebraiske operationer arbejde på samme måde som aritmetiske operationer, såsom addition, subtraktion, multiplikation, division og eksponentiering. og anvendes på algebraiske variabler og vilkår. Multiplikation symboler er som regel udeladt, og underforstået når der ikke er plads mellem to variable eller udtryk, eller når en koefficient er brugt. For eksempel, skrives som og kan skrives.

Normalt vilkår med den højeste effekt, skrives til venstre, for eksempel, er skrevet til venstre for. Når en koefficient er en, er det normalt udeladt. Ligeledes når eksponenten er et ,. Når eksponenten er nul, er resultatet altid 1. Men at være udefineret, bør ikke i et udtryk, og pleje bør tages i forenkling udtryk i hvilke variable kan forekomme i eksponenter.

Alternativ notation

Andre typer af notation anvendes i algebraiske udtryk, når den ønskede formatering ikke er tilgængelig, eller kan ikke stiltiende, såsom hvor kun bogstaver og symboler er tilgængelige. For eksempel er eksponenter normalt formateret med hævet skrift, f.eks. I almindelig tekst, og i TeX mark-up sprog, indsætningstegn symbolet "^" repræsenterer eksponenter, så skrives som "x ^ 2". I programmeringssprog såsom Ada, Fortran, Perl, Python og Ruby, er en dobbelt asterisk brugt, så skrives som "x ** 2". Mange programmeringssprog og regnemaskiner bruge en enkelt stjerne til at repræsentere multiplikation symbolet, og det skal udtrykkeligt anvendes, for eksempel, er skrevet "3 * x".

Begreber

Variable

Elementære algebra bygger på og udvider aritmetiske ved at indføre breve kaldet variable til at repræsentere generelle tal. Dette er nyttigt til flere grunde.

  • Variable kan repræsentere tal, hvis værdier er endnu ikke kendt. For eksempel, hvis temperaturen i dag, T, er 20 grader højere end temperaturen går, Y, så problemet kan beskrives som algebraisk.
  • Variabler tillader en at beskrive generelle problemer, uden at angive værdierne for de mængder, der er involveret. For eksempel kan det anføres specifikt, at 5 minutter svarer til sekunder. En mere generel beskrivelse kan anføre, at det antal sekunder ,, hvor m er antallet af minutter.
  • Variabler tillader en at beskrive matematiske relationer mellem mængder, der kan variere. For eksempel er forholdet mellem omkredsen, c og diameter, d, af en cirkel beskrevet af.
  • Variabler tillader en at beskrive nogle matematiske egenskaber. For eksempel, en grundlæggende egenskab ved tilføjelse er kommutativitet hvori det hedder, at rækkefølgen af ​​numre, der lægges sammen ligegyldigt. Kommutativitet angives algebraisk som.

Evaluering udtryk

Algebraiske udtryk kan evalueres og forenkles, baseret på de basale egenskaber af aritmetiske operationer. For eksempel,

  • Tilføjet termer forenkles ved hjælp af koefficienter. For eksempel kan forenkles som.
  • Multiplicerede vilkår forenkles ved hjælp eksponenter. For eksempel er repræsenteret
  • Lignende udtryk lægges sammen, for eksempel skrives som, da udtrykkene indeholder adderes, og udtrykkene, der indeholder lægges sammen.
  • Beslag kan "multipliceres ud", ved hjælp af distributivitet. For eksempel kan skrives som der kan skrives som
  • Udtryk kan indregnes. For eksempel ,, ved at dividere begge vilkår ved kan skrives som

Ligninger

En ligning, at to udtryk er ens ved hjælp af symbolet for ligestilling ,. En af de mest kendte ligninger beskriver Pythagoras 'lovgivning vedrørende længden af ​​siderne af en ret vinkel trekant:

Denne ligning anført, repræsenterer kvadratet på længden af ​​den side, der er hypotenusen, er lig med summen af ​​kvadraterne af de to andre sider, hvis længder er repræsenteret ved og.

En ligning er påstanden om, at to udtryk har samme værdi og er lige. Nogle ligninger er sandt for alle værdier af de involverede variabler; sådanne ligninger kaldes identiteter. Betingede ligninger er sande for kun nogle værdier af de involverede variabler, fx kun er tilfældet for og. Værdierne af de variable, som gør ligningen sand er opløsninger af ligningen, og kan findes gennem ligning løsning.

En anden type ligning er en ulighed. Uligheder bruges til at vise, at den ene side af ligningen er større eller mindre end den anden. De symboler, der anvendes til dette, er: hvor er "større end", og hvor er "mindre end". Ligesom standard ligestilling ligninger, kan numre tilføjes, subtraheres, multipliceres eller delt. Den eneste undtagelse er, at når multiplicere eller dividere med et negativt tal, skal uligheden symbolet vendes.

Egenskaber af lighed

Per definition, lighed er en ækvivalensrelation, hvilket betyder at det har egenskaber, refleksiv, symmetrisk transitive. Det opfylder også den vigtige egenskab, at hvis der anvendes to symboler for lige ting, så en symbol kan erstattes med den anden i enhver sand udsagn om den første og den erklæring vil forblive tro. Dette indebærer følgende egenskaber:

  • hvis og da, og;
  • hvis da;
  • mere generelt, for enhver funktion, hvis da.

Egenskaber af ulighed

Relationerne mindre end og større end har den egenskab af transitivitet:

  • Hvis og derefter;
  • Hvis og derefter;
  • Hvis og derefter;
  • Hvis og derefter.

Ved at vende inequation og kan byttes, for eksempel:

  •  svarer til

Substitution

Substitution erstatter vilkårene i et udtryk for at skabe et nyt udtryk. Erstatte 3 for en i udtrykket en * 5 gør et nyt udtryk 3 * 5 med mening 15. erstatte vilkårene i en erklæring gør en ny erklæring. Når den oprindelige udsagn er sandt uafhængig af værdierne af de udtryk, meddelelsen skabt af substitutioner er også sandt. Derfor kan foretages definitioner i symbolske vendinger og fortolket gennem substitution: hvis, hvor: = betyder "defineres til lige", erstatte 3 for informerer læseren af ​​denne erklæring, der betyder 3 * 3 = 9. Ofte er det ikke vides, om udsagnet er sandt uafhængigt af værdierne af de vilkår, og substitution tillader en at udlede restriktioner de mulige værdier, eller vise, hvad betingelser erklæringen holder under. For eksempel, idet meddelelsen x + 1 = 0, hvis x er substitueret med 1, dette imples 1 + 1 = 2 = 0, hvilket er falsk, hvilket indebærer, at hvis x + 1 = 0, så kan x ikke være 1.

Hvis x og y er hele tal, rationals eller reelle tal, så xy = 0 betyder, x = 0 eller y = 0. Antag abc = 0. Derefter erstatte en for x og bc for y, vi lærer a = 0 eller bc = 0. Så kan vi erstatte igen, lade x = b og y = c, for at vise, at hvis bc = 0, så b = 0 eller C = 0. Derfor, hvis abc = 0, så a = 0, eller så abc = 0 betyder, a = 0 eller b = 0 eller C = 0.

Overvej om den oprindelige kendsgerning blev angivet som "ab = 0 medfører en = 0 eller b = 0." Så når vi siger "formoder abc = 0," vi har en konflikt af udtryk, når vi erstatte. Alligevel ovenstående logik er stadig gyldige til at vise, at hvis abc = 0 så en = 0 eller b = 0 eller c = 0, hvis stedet for at lade en = a og b = bc vi erstatte en for a og b for bc. Dette viser, at erstatte vilkårene i en erklæring er ikke altid det samme som at lade vilkårene fra meddelelsen svarer til de substituerede vilkår. I denne situation er det klart, at hvis vi erstatte et udtryk et i en periode på den oprindelige ligning, den en substitueret henviser ikke til en i sætningen "ab = 0 medfører en = 0 eller b = 0."

Løsning af algebraiske ligninger

De følgende afsnit lægge ud eksempler på nogle af de typer af algebraiske ligninger, der kan opstå.

Lineære ligninger med én variabel

Lineære ligninger er såkaldte, fordi når de er afbildet, de beskriver en lige linje. Den enkleste ligninger til at løse, er lineære ligninger, der kun har én variabel. De indeholder kun konstante tal og en enkelt variabel uden eksponent. Som et eksempel, overveje:

For at løse denne form for ligning er teknikken addere, subtrahere, multiplicere eller dividere begge sider af ligningen med det samme antal med henblik på at isolere variable på den ene side af ligningen. Når den variable isoleres, den anden side af ligningen er værdien af ​​den variable. Dette problem og dets løsning er som følger:

I ord: min søns alder er 4.

Den generelle form af en lineær ligning med en variabel, kan skrives som:

Ved at følge samme procedure, er den generelle løsning givet ved

Lineære ligninger med to variable

En lineær ligning med to variabler har mange løsninger. For eksempel:

Dette kan ikke udarbejdet af sig selv. Hvis jeg fortalte dig min søns alder, så ville der ikke længere være to ubekendte, og problemet bliver en lineær ligning med kun én variabel, der kan løses som beskrevet ovenfor.

For at løse en lineær ligning med to variabler, kræver to relaterede ligninger. For eksempel, hvis jeg afslørede også, at:

Nu er der to beslægtede lineære ligninger, hver med to ubekendte, hvilket lader os frembringe en lineær ligning med kun én variabel, ved at trække dem fra hinanden:

Med andre ord, min søn er i alderen 12, og da jeg er 22 år ældre, må jeg være 34. I 10 år, min søn vil 22, og jeg vil være dobbelt hans alder, er 44. Dette problem er illustreret på den tilhørende plot af ligningerne.

For andre måder at løse denne slags ligninger, se nedenfor, System af lineære ligninger.

Kvadratiske ligninger

En andengradsligning er en, der har et ord med en eksponent på 2, f.eks ,, og ingen sigt højere eksponent. Navnet stammer fra det latinske quadrus, hvilket betyder pladsen. Generelt kan en andengradsligning udtrykkes i form, hvor ikke er nul. På grund af dette en andengradsligning skal indeholde sigt, hvilket er kendt som den kvadratiske sigt. Derfor, og så vi kan dividere med og omarrangere ligningen ind i den standardformular

hvor og. Løsning af dette, ved en proces kaldet udfylde pladsen, fører til den kvadratiske formel

hvor symbolet "±" indikerer, at både

er opløsninger af andengradsligning.

Kvadratiske ligninger kan også løses ved hjælp af factorization. Som et eksempel på factoring:

Hvilket er det samme som

Det fremgår af Nulreglen der enten, eller er de løsninger, da netop en af ​​de faktorer, skal være lig med nul. Alle kvadratiske ligninger vil have to opløsninger i komplekset talsystem, men behøver ikke have nogen i den virkelige talsystem. For eksempel,

har ingen reelle antal løsning, da der ikke reelt tal kvadreret lig -1. Nogle gange kan en andengradsligning har en rod multiplicitet 2, såsom:

Til denne ligning, -1 er et rod af multiplicitet 2. Det betyder -1 forekommer to gange.

Eksponentielle og logaritmiske ligninger

En eksponentiel ligning er en, der har form for, som har opløsning

hvornår. Elementære algebraiske teknikker anvendes til at omskrive et givet ligning på ovenstående måde før ankommer til opløsningen. For eksempel, hvis

derefter, ved at subtrahere 1 fra begge sider af ligningen, og derefter dividere begge sider med 3 vi opnår

hvorfra

eller

En logaritmisk ligning er en ligning af formen for, som har løsningen

For eksempel, hvis

derefter, ved tilsætning af 2 til begge sider af ligningen, efterfulgt ved at dividere begge sider med 4, får vi

hvorfra

hvorfra vi får

Radikale ligninger

En radikal ligning er én, der indeholder en radikal tegn, som omfatter kvadratrødder ,, terning rødder ,, og n'te rødder ,. Husk på, at et n'te rod kan omskrives i eksponentiel format, så svarer til. Kombineret med regelmæssige eksponenter, så kan omskrives til. Så en almindelig form for en radikal ligning er hvor og er heltal. Det har opløsning:

For eksempel, hvis:

derefter

System af lineære ligninger

Der findes forskellige metoder til at løse et system af lineære ligninger med to variable.

Elimination metode

Et eksempel på at løse et system af lineære ligninger er ved hjælp afskaffelse metode:

Multiplicere udtryk i den anden ligning med 2:

Tilføjelse af de to ligninger sammen for at få:

hvilket forenkler til

Da det faktum, at det er kendt, er det så muligt at udlede, at ved en af ​​de oprindelige to ligninger Den fulde løsning på dette problem er derefter

Bemærk, at dette ikke er den eneste måde at løse dette specifikke system; kunne have været løst før.

Substitutionsmetoden

En anden måde at løse det samme system af lineære ligninger ved substitution.

En ækvivalent for kan udledes ved hjælp af en af ​​de to ligninger. Anvendelse af den anden ligning:

Subtraktion fra hver side af ligningen:

og gange med -1:

Ved anvendelse af denne værdi i den første ligning i det oprindelige system:

Tilsætning af 2 på hver side af ligningen:

hvilket forenkler til

Brug af denne værdi i en af ​​ligningerne, er den samme opløsning som i den tidligere metode opnåede.

Bemærk, at dette ikke er den eneste måde at løse dette specifikke system; i dette tilfælde, kunne have været løst før.

Andre typer af systemer af lineære ligninger

Inkonsekvent systemer

I ovenstående eksempel eksisterer en løsning. Der er dog også systemer af ligninger, som ikke har nogen løsning. Et sådant system kaldes inkonsekvent. Et oplagt eksempel er

Som 0 ≠ 2, den anden ligning i systemet ikke har nogen løsning. Derfor systemet ikke har nogen løsning. Dog er ikke alle inkonsistente systemer indregnes ved første øjekast. Som et eksempel, lad os betragte systemet

Multiplikation med 2 begge sider af den anden ligning, og tilføje den til den første, resulterer i

som klart har ingen løsning.

Ubestemte systemer

Der er også systemer, som uendeligt mange løsninger, i modsætning til et system med en unik løsning For eksempel:

Isolering i den anden ligning:

Og ved hjælp af denne værdi i den første ligning i systemet:

Ligestilling er sandt, men det giver ikke en værdi for. Faktisk kan man let kontrollere, at for enhver der er en løsning, så længe. Der er en uendelig række løsninger til dette system.

Over- og underbestemte systemer

Systemer med flere variable end antallet af lineære ligninger har ikke en unik løsning. Et eksempel på et sådant system er

Et sådant system kaldes underbestemte; når de forsøger at løse det, er man ledes til at udtrykke nogle variabler som funktioner af de andre dem, men kan ikke udtrykke alle løsninger numerisk.

Et system med et større antal ligninger end variabler, som nødvendigvis nogle ligninger er lineære kombinationer af de andre, hvis nogen løsning findes, kaldes overdetermineret.

  0   0
Forrige artikel 2007 i Kina
Næste artikel Caro Emerald

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha