Eksempler på frembringende funktioner

De følgende eksempler er i overensstemmelse med ånden i George Pólya, der gik ind for at lære matematik ved at gøre og re-kapitulere så mange eksempler og beviser som muligt. Formålet med denne artikel er at præsentere fælles tricks af handelen i sammenhæng, så folk kan indarbejde dem i deres viden.

Arbejdede eksempel A: basics

Nye genererende funktioner kan skabes ved at udvide enklere genererende funktioner. For eksempel, startende med

og erstatte med, får vi

Bivariate genererende funktioner

Man kan definere genererende funktioner af flere variable, for serier med flere indekser. Disse kaldes ofte super genererende funktioner, og til 2 variabler kaldes ofte bivariate genererende funktioner.

For eksempel, da er den frembringende funktion for binomial koefficienter for en fast n, kan man bede om en bivariate frembringende funktion, der genererer binomialkoefficienter for alle k og n. For at gøre dette, anser sig selv en serie, og find den frembringende funktion i y, der har disse som koefficienter. Da den frembringende funktion for er bare, den frembringende funktion for binomialkoefficienter er:

og koefficienten på den binomial koefficient.

Arbejdede eksempel B: Fibonacci numre

Betragt problemet med at finde en lukket formel for Fibonacci numre Fn defineret af F0 = 0, F1 = 1, og Fn = Fn-1 + Fn-2 for n ≥ 2. Vi danner den almindelige frembringende funktion

for denne sekvens. Den frembringende funktion for sekvensen er XF og af er xf. Fra gentagelse forhold, derfor ser vi, at magten serien xf + xf enig med f bortset fra de to første koefficienter:

Under hensyn til disse, finder vi, at

 Løsning af denne ligning for f, får vi

Nævneren kan indregnes ved hjælp af den gyldne snit φ1 = / 2 og φ2 = / 2, og teknikken med delvis fraktion nedbrydningsprodukter udbytter

Disse to formelle magt serien er kendt eksplicit, fordi de er geometrisk række; sammenligne koefficienter, finder vi den eksplicitte formel

  0   0

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha