Eksempler på differentialligninger

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Maj 15, 2016 Emilie Paus E 0 4

Differentialligninger opstå i mange problemer i fysik, teknik og andre videnskaber. De følgende eksempler viser, hvordan man løser differentialligninger i et par enkle tilfælde, hvor en eksakt løsning findes.

Adskilles førsteordens ordinære differentialligninger

Ligninger i form kaldes adskilles og løst ved, og dermed. Forud for at dividere med, er man nødt til at kontrollere, om der stationære løsninger tilfredsstillende.

Adskillelige første ordens lineære ordinære differentialligninger

En adskilles lineær ordinær differentialligning af første orden skal være homogen og har den generelle form

hvor er nogle kendte funktion. Vi kan løse dette ved separation af variable,

Da adskillelsen af ​​variabler i dette tilfælde at dividere med y, skal vi tjekke om konstant funktion y = 0 er en opløsning af den oprindelige ligning. Trivielt, hvis y = 0, så y '= 0, så y = 0 er faktisk en opløsning af den oprindelige ligning. Vi bemærker, at y = 0 ikke er tilladt i den transformerede ligning.

Vi løser den transformerede ligning med de variabler, der allerede adskilt af Integration,

hvor C er en arbitrær konstant. Så ved eksponentiering, vi får

Her ,, så. Men vi har uafhængigt kontrolleret, at y = 0 er også en opløsning af den oprindelige ligning, således

med en arbitrær konstant A, som dækker alle tilfælde. Det er let at bekræfte, at dette er en løsning ved at tilslutte den til den oprindelige differentialligning:

Nogle uddybning er nødvendig, fordi ƒ ikke engang kunne være integrable. Man må også påtage sig noget om domæner funktionerne involverede før ligningen er fuldt defineret. Opløsningen ovenfor antager den virkelige sag.

Hvis er en konstant, opløsningen er særlig enkel, og beskriver, fx hvis, den eksponentielle henfald af radioaktivt materiale på makroskopisk niveau. Hvis værdien af ​​ikke er kendt på forhånd, kan det bestemmes ud fra to målinger af opløsningen. For eksempel,

giver og.

Ikke-adskillelige første ordens lineære ordinære differentialligninger

Første ordens lineære ikke-homogene ODE'er ikke kan adskilles. De kan løses ved følgende fremgangsmåde, der er kendt som en integrerende faktor metode. Overvej førsteordens lineære ODE'er af den generelle form:

Metoden til at løse denne ligning er afhængig af en særlig integrerende faktor, u:

Vi vælger denne integrerende faktor, fordi det har den særlige egenskab, at dens afledte selv gange den funktion, vi integrerer, der er:

Multiplicer begge sider af originalen differentialligning af μ for at få:

På grund af den særlige μ vi plukket, kan vi erstatte dμ / dx for μ p, forenkle ligningen til:

Brug af produktet reglen i bakgear, får vi:

Integration begge sider:

Endelig, for at løse for y vi dividere begge sider med:

Eftersom μ er en funktion af x, kan vi ikke forenkle en yderligere direkte.

Anden ordens lineære ordinære differentialligninger

Et simpelt eksempel

Antag at en masse er fastgjort til en fjeder, som udøver en tiltrækningskraft på massen i forhold til forlængelsen / sammentrykning af fjederen. For nu kan vi ignorere alle andre kræfter. Vi skal skrive udvidelsen af ​​fjederen på et tidspunkt t som x. Nu bruger Newtons anden lov, vi kan skrive:

hvor m er massen og k er fjederkonstanten, der repræsenterer et mål for fjederstivhed. Lad os for enkelhed take m = k som et eksempel.

Hvis vi ser efter løsninger, der har form hvor C er en konstant, vi opdager forhold, og derfor må være en af ​​de komplekse tal eller. Således ved hjælp af Eulers sætning kan vi sige, at løsningen skal være af formen:

Se en løsning ved WolframAlpha.

For at bestemme den ukendte konstanter A og B, har vi brug for begyndelsesbetingelserne, dvs. ligheder, der angiver tilstanden af ​​systemet på et givet tidspunkt.

For eksempel, hvis vi antager, ved t = 0 udvidelsen er en enhed distance og partiklen bevæger sig ikke. Vi har

og så A = 1.

og så B = 0.

Derfor x = cos t. Dette er et eksempel på simpel harmonisk bevægelse.

Se en løsning ved WolframAlpha.

En mere kompliceret model

Ovenstående model af en oscillerende masse på en fjeder er plausibelt, men ikke meget realistisk: i praksis vil friktion tendens til at aftage massen og har størrelse proportional med dens hastighed. Vores nye differentialligning, udtrykker afbalancering af acceleration og de kræfter, er

hvor er dæmpningen koefficient, der repræsenterer friktion. Igen søger løsninger af formen, finder vi, at

Dette er en andengradsligning, som vi kan løse. Hvis der er to komplekse konjugerede rødder en ± IB, og løsningen vil se sådan ud:

Lad os for nemheds skyld tage, dengang og.

Ligningen kan også løses i Matlab symbolsk værktøjskasse som

selvom løsningen ser snarere grimme,

Dette er en model af dæmpet oscillator. Plottet af forskydning mod tiden ville se sådan ud:

som ikke ligner hvordan man ville forvente en vibrerende fjeder at opføre sig som friktion fjernede energi fra systemet.

Lineære systemer af ODE'er

Følgende eksempel på en første ordens lineære systemer af ODE'er

kan let symbolsk løses i WolframAlpha.

  0   0
Forrige artikel Anasol
Næste artikel Delfín Sporting Club

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha