Dual polyeder

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Maj 16, 2016 Kaare Færden D 0 1

I geometri, er polyedre forbundet i par kaldet duals, hvor knudepunkter af en svarer til ansigterne på den anden. Startende med en given polyeder, den dobbelte af sin dobbelte er den oprindelige polyeder. Den dobbelte af isogonal polyeder, der tilsvarende knudepunkter, er en, der er isohedral, med tilsvarende flader, og en, der er isotoxal, med tilsvarende kanter, er også isotoxal. Den regelmæssige polyedre de platoniske legemer og Kepler-Poinsot polyedre danner dobbelte par, med undtagelse af den regulært tetraeder, som er selv-dobbelt.

Dualitet er nært beslægtet med gensidighed eller polaritet.

Slags dualitet

Der er mange slags dualitet. Den slags er mest relevante for elementære polyedre er:

  • Polar gensidighed
  • Topologisk eller abstrakt dualitet

Polar gengældelse

Den dobbelthed af polyedre er mest almindeligt defineres i form af polære gengældelse om en koncentrisk sfære. Her er hvert hjørne forbundet med et ansigt plan, således at strålen fra midten til toppunktet er vinkelret på planet, og produktet af afstanden fra centrum til hver er lig med kvadratet på radius. I koordinater, for gengældelse om kuglen

toppunktet

er forbundet med planet

Knudepunkter af det dobbelte er polerne gensidige til ansigtet fly af originalen, og ansigterne på den dobbelte ligger i polars gensidige til knudepunkter af originalen. Også to tilstødende toppunkter definerer en kant, og disse vil gengælde til to tilgrænsende flader, som skærer til at definere en kant af den dobbelte. Denne dobbelte par kanter er altid vinkelret på hinanden.

Hvis r0 er radius af kuglen, og R1 og R2 henholdsvis afstandene fra dens centrum til pol og dets polære, så:

For de mere symmetriske polyedre har en indlysende centroid, er det almindeligt at gøre polyeder og kugle koncentriske, som i Dorman Luke konstruktionen beskrevet nedenfor.

Det er dog muligt at gengælde et polyeder om noget område, og den resulterende form af det dobbelte vil afhænge af den valgte område; som vi bevæger kuglen rundt, den dobbelte form, fordrejer. Valget af centret er tilstrækkeligt til at definere den dobbelte op til lighed. Hvis flere symmetri akser er til stede, vil de nødvendigvis skærer hinanden i et enkelt punkt, og det er normalt for at være det geometriske tyngdepunkt. I mangel heraf en afgrænset sfære, afmærket sfære, eller midsphere kan anvendes.

Hvis et polyeder har et element, der går gennem kuglens centrum, vil det tilsvarende element i sin dobbelte går mod uendelig. Da traditionelle "euklidisk" rum aldrig når uendeligt, den projektive tilsvarende, kaldet forlænget euklidisk rum, skal dannes ved tilsætning af den fornødne "flyet på uendelig. Nogle teoretikere foretrækker at holde sig til euklidisk rum og sige, at der ikke er nogen dobbelt. I mellemtiden Wenninger fundet en måde at repræsentere disse uendelige duale, på en måde egnet til fremstilling af modeller.

Begrebet dobbelthed her er nært beslægtet med den dobbelthed i Projektiv geometri, hvor linjer og kanter er byttet; det er faktisk ofte fejlagtigt antages at være en bestemt version af det samme. Projektiv polaritet fungerer godt nok for konvekse polyedre. Men for ikke-konvekse figurer som stjerne polyedre, når vi søger at strengt definere denne form for polyhedralt dualitet i form af projektiv polaritet, vises forskellige problemer. Se f.eks Grünbaum & amp; Shepherd, og Gailiunas & amp; Sharp. Wenninger diskuterer også nogle problemer på vej til at udlede hans uendelige duals.

Canonical duals

Alle konvekse polyeder kan fordrejes i en kanoniske form, hvor en midsphere eksisterer tangent til hver kant, således at den gennemsnitlige placering af disse punkter er centrum af kuglen, og denne formular er unikt op til kongruenser.

Hvis vi gengæld sådan polyeder om sin intersphere, vil den dobbelte polyeder deler de samme kant-tangency point og så skal også være kanoniske; det er den kanoniske dual, og de to tilsammen danner en kanonisk dobbelt par.

Topologisk dualitet

Vi kan forvride en dobbelt polyeder, således at den ikke længere kan opnås ved frem- og tilbagegående originalen i noget område; i dette tilfælde kan vi sige, at de to polyedre er stadig topologisk eller abstrakt dobbelt.

De knuder og kanter af en konveks polyeder kan forventes at danne en graf på kuglen eller på et fladt plan, og tilsvarende graf dannet af den dobbelte af denne polyeder er dens dobbelte graf.

En abstrakt polyeder er en vis form for delvist ordnet sæt af elementer, således at adjacencies, eller forbindelser, mellem elementer i sættet svarer til adjacencies mellem elementer af et polyeder. En sådan poset kan "realiseres" som en geometrisk polyeder har den samme topologiske struktur. Den poset kan være repræsenteret i en Hasse diagram. Enhver sådan poset har en dobbelt poset. Hasse-diagrammet af den dobbelte polyeder opnås meget enkelt, ved at læse den oprindelige diagram hovedet.

Dorman Luke byggeri

For en ensartet polyeder, kan forsiden af ​​den dobbelte polyhedron findes fra den oprindelige polyeder s vertex tal ved hjælp af Dorman Luke konstruktion. Denne konstruktion blev oprindeligt beskrevet af Cundy & amp; Rollett og senere generaliseret af Wenninger.

Som et eksempel, her er toppunktet figur af cuboctahedron bliver brugt til at udlede et ansigt af rhombisk dodecahedron.

Inden du begynder byggeriet, er toppunktet tallet ABCD opnået ved at skære hver tilsluttet kant på sit midtpunkt.

Dorman Luke konstruktion fortsætter derefter:

I dette eksempel størrelsen af ​​toppunktet tal blev valgt således, at dens omskrevne ligger på intersphere af cuboctahedron, som også bliver intersphere af den dobbelte rhombisk dodecahedron.

Dorman Lukes byggeriet kan kun anvendes, når et polyeder har en sådan intersphere og toppunktet tallet er cyklisk, dvs for ensartet polyedre.

Self-dual polyedre

Topologisk, en selv-dobbelt polyeder er en hvis dual har nøjagtig samme forbindelse mellem vertices, kanter og ansigter. Abstrakt, deres Hasse diagrammer er identiske.

En geometrisk selv-dobbelt polyeder er ikke kun topologisk selv dobbelt, men dens polære reciprokke om nogle givet punkt, typisk dens tyngdepunkt, er en kongruent tal. For eksempel det dobbelte af et regulært tetraeder er et andet regulært tetraeder ,.

Hver polygon er topologisk self-dobbelt, men vil i almindelighed ikke være geometrisk selv dual. Regulære polygoner er geometrisk selv-dobbelt: alle vinkler er kongruente, ligesom alle kanter, så under dualitet disse kongruenser swap).

Den mest almindelige geometriske arrangement er, hvor nogle konveks polyeder er i sin kanoniske form, hvilket vil sige, at alle dens kanter skal være tangent til en vis kugle, hvis centrum falder sammen med tyngdepunktet af tangentpunkterne. Hvis tallet er selv-dobbelt, så den polære gensidige er kongruent til det.

Der er uendeligt mange geometrisk self-dual polyedre. Den enkleste uendelige familie er pyramiderne i n sider og af kanonisk form. En anden familie uendelige, langstrakte pyramider, består af polyedre, der kan groft beskrives som en pyramide sidder på toppen af ​​et prisme. Tilføj en stub under prisme, og du får en anden uendelig familie, og så videre.

Der er mange andre konvekse, selv-dobbelt polyedre. For eksempel er der 6 forskellige dem med 7 knudepunkter, og 16 med 8 knudepunkter.

Ikke-konveks self-dual polyedre kan også findes, såsom det udgravede dodecahedron.

Self-dobbelt sammensatte polyedre

Trivielt, forbindelsen ifølge et hvilket polyeder og dens dobbelte er en selvstændig dobbelt tal.

Hvis et polyeder er self-dobbelt, så forbindelsen med polyhedron med sin dobbelte vil omfatte kongruente polyedre. Den regelmæssige forbindelse to tetrahedra, kendt som Stella octangula, er den eneste regulære forbindelsen med denne egenskab.

Dual polyedre og Tessellations

Dualitet kan generaliseres til n-dimensionelle rum og dobbelt polyedre; i to dimensioner disse kaldes dual polygoner.

Knudepunkter af en polytop svarer til de dimensionale elementer, eller facetter på den anden, og j punkter, der definerer en dimensional element vil svare til j hyperplaner der skærer hinanden for at give en dimensional element. Den dobbelte af en n-dimensional tessellation eller honeycomb kan defineres på lignende måde.

Generelt vil facetter af en polytop dobbelte være topologiske duale af polytope s vertex tal. For regelmæssige og ensartede polyedre, vil den dobbelte facetter være polære reciprokke af den oprindelige s facetter. For eksempel i fire dimensioner, toppunktet tal på 600-cellen er ikosaedret; den dobbelte af 600-cellen er 120-cellen, hvis facetter dodecahedra, som er det dobbelte af ikosaeder.

Self-dual polyedre og Tessellations

Den primære klasse af selvstændige dual polyedre er regulære polyedre med palindromiske Schläfli symboler. Alle regulære polygoner, {a} er selvstændige dobbelt polyedre af formen {a, a}, 4-polyedre af formen {a, b, a}, 5-polyedre af formen {a, b, b, a }, etc.

Selvstændige dual regelmæssige polyedre er:

  • Alle regulære polygoner, {a}.
  • Regulært tetraeder: {3,3}
  • Generelt alle regelmæssige n-simplexes, {3,3, ..., 3}
  • Den regelmæssige 24-celle i 4 dimensioner, {3,4,3}.

Selvstændige dobbelt regelmæssige euklidisk honningtavler er:

  • Apeirogon: {∞}
  • Square fliselægning: {4,4}
  • Cubic honeycomb: {4,3,4}
  • Generelt alle regelmæssige n-dimensional euklidisk hypercubic honningtavler: {4,3, ..., 3,4}.

Selvstændige dobbelt regelmæssige hyperbolske honningtavler er:

  • Kompakte hyperbolske tilings: {5,5}, {6,6}, ... {p, s}.
  • Paracompact hyperbolske fliselægning: {∞, ∞}
  • Kompakte hyperbolske honningtavler: {3,5,3}, {5,3,5}, og {5,3,3,5}
  • Paracompact hyperbolske honningtavler: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4}, og {3,3,4,3,3}
  0   0
Forrige artikel Billy Kratzert
Næste artikel Danger Mouse

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha