Diskret værdiansættelse ring

I abstrakt algebra, en diskret værdiansættelse ring er en hovedstol ideal domæne med præcis én ikke-nul maksimal ideal.

Det betyder en DVR er en integreret domæne R, der opfylder en af ​​følgende tilsvarende betingelser:

  • R er en lokal primære ideelle domæne, og ikke et felt.
  • R er en værdiansættelse ring med en værdi gruppe isomorf til heltal under tilføjelse.
  • R er en lokal Dedekind domæne og ikke et felt.
  • R er en noetherian lokal ring med Krull dimension en, og den maksimale ideal R er hovedstolen.
  • R er en integreret lukket noetherian lokale ring med Krull dimension én.
  • R er en vigtig ideelle domæne med et unikt ikke-nul prime ideal.
  • R er en hovedstol ideal domæne med en unik irreducible element.
  • R er et unikt faktorisering domæne med en unik irreducible element.
  • R ikke er et felt, og hver ikke-nul fraktioneret ideal R er irreducible i den forstand, at den ikke kan skrives som finite skæringspunktet mellem fraktioneret idealer korrekt indeholder det.
  • Der er en vis diskrete værdiansættelse MOD på banen af ​​fraktioner K af R, således at R = {x: x i K, ν ≥ 0}.

Eksempler

Lad Z = {p / q: p, q i Z, q ulige}. Så inden for brøkdele af Z er Q. Nu, for enhver nul element r Q, kan vi anvende unikke faktorisering til tælleren og nævneren i r til at skrive r som 2p / q, hvor p, q, og k er heltal med p og q ulige. I dette tilfælde definerer vi ν = k. Så er Z den diskrete værdiansættelse ring svarende til MOD. Den maksimale ideal af Z er den vigtigste ideal genereret af 2, og "unikke" irreducibel element er 2.

Bemærk, at Z er lokaliseringen af ​​Dedekind domæne Z på prime ideelle genereret af 2. Enhver lokalisering af en Dedekind domæne ved en ikke-nul prime ideal er en diskret værdiansættelse ring; i praksis, er det ofte, hvordan diskrete værdiansættelse ringe opstår. I særdeleshed kan vi definere ringe Z til enhver prime p i fuldstændig analogi.

For eksempel mere geometrisk i naturen, tage ringen R = {f / g: f, g polynomier i R og g ≠ 0}, der betragtes som en delring af feltet af rationelle funktioner R i variablen X. R kan identificeres med ringen af ​​alle reelle værdsat rationelle funktioner defineret i et kvarter af 0 på den reelle akse. Det er en diskret værdiansættelse ring; den "unikke" irreducibel element er X og værdiansættelsen tildeler til hver funktion f rækkefølgen af ​​nul af f på 0. Dette eksempel giver skabelonen for at studere generelle algebraiske kurver tæt ikke-singulære punkter, den algebraiske kurve i dette tilfælde er den reelle akse.

Et andet vigtigt eksempel på en DVR er ringen af ​​formelle potensrækker R = K] i én variabel T over nogle felt K. "unik" irreducibel element er T, den maksimale ideal R er den vigtigste ideal genereret af T, og værdiansættelse ν tildeler til hver magt serie indekset for den første ikke-nul-koefficient.

Hvis vi begrænser os til reelle eller komplekse koefficienter, kan vi betragte ringen af ​​magt serier i én variabel, der konvergerer i et kvarter af 0. Dette er også en diskret værdiansættelse ring.

Endelig ringen Zp af p-adic heltal er en DVR, for enhver prime s. Her p er et irreducible element; værdiansættelsen tildeler hver p-adic heltal x den største heltal k således at p opdeler x.

Uniformizing parameter

Givet en DVR R, så enhver irreducibel element i R er en generator for den unikke maksimal ideal R og omvendt. Et sådant element kaldes også en uniformizing parameter R.

Hvis vi fastsætte en uniformizing parameter t, så er M = er den unikke maksimal ideal af R, og hver anden ikke-nul ideal er en potens af M, dvs. har form for nogle k≥0. Alle kræfter t er forskellige, og så er de beføjelser M. Hver ikke-nul element x af R kan skrives i form αt med α en enhed i R og k≥0, både entydigt bestemt af x. Værdiansættelsen er givet ved ν = k. Så for at forstå ringen helt, er man nødt til at kende gruppen af ​​enheder af R, og hvordan enhederne interagerer additivt med beføjelser t.

Topologi

Hver diskrete værdiansættelse ring, bliver en lokal ring, bærer en naturlig topologi og er en topologisk ring. Kan måles som følger afstanden mellem to elementer x og y:

. Intuitivt: et element z er "små" og "tæt på 0" IFF sin værdiansættelse ν er stor. Funktionen | xy | suppleret med | 0 | = 0, er begrænsningen af ​​en absolut værdi defineret på området for fraktioner af den diskrete værdiansættelse ringen.

En DVR er kompakt, hvis og kun hvis det er komplet og sit felt rester R / M er et finit felt.

Eksempler på komplette DVRs omfatter ringen af ​​p-adic heltal og ringen af ​​formelle potensrækker i noget felt. For en given DVR, man ofte overgår til dens afslutning, en komplet DVR indeholder den givne ring, der er ofte lettere at studere. Denne procedure er afsluttet kan opfattes på en geometrisk måde, som går fra rationelle funktioner til magten serien, eller rationale tal til reelle tal.

Vender tilbage til vores eksempler: ring af al formelle potensrækker i én variabel med reelle koefficienter er færdiggørelsen af ​​ringen af ​​rationelle funktioner defineret i et kvarter af 0 på virkelige linje; det er også færdiggørelsen af ​​ringen af ​​al reelle magt serie, der konvergerer i nærheden af ​​0. Færdiggørelsen af ​​Z er ringen af ​​alle p-adic heltal zP.

  0   0
Forrige artikel Ceratosaurus
Næste artikel Canada driver

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha