Direkte sum af grupper

I matematik er en gruppe G kaldes den direkte sum af to undergrupper H1 og H2, hvis

  • hver H1 og H2 er normale undergrupper af G
  • undergrupperne H1 og H2 har trivielle kryds, og
  • G = & lt; H1, H2 & gt ;; Med andre ord er G frembragt af undergrupperne H1 og H2.

Mere generelt er G kaldes direkte sum af et finit sæt af undergrupper {Hi} hvis

  • hver Hi er en normal undergruppe af G
  • hver Hej har trivielt skæringspunktet med undergruppe & lt; {Hj: j ikke lig med i} & gt ;, og
  • G = & lt; {Hi} & gt ;; Med andre ord er G frembragt af undergrupperne {Hi}.

Hvis G er den direkte sum af undergrupper H og K, så vi skriver G = H + K; hvis G er den direkte sum af et sæt undergrupper {Hi}, vi ofte skriver G = ΣHi. Løst sagt, en direkte sum er isomorf et svagt direkte produkt af undergrupper.

I abstrakt algebra, kan denne metode til konstruktion generaliseres til direkte summer af vektorrum, moduler og andre strukturer; se artiklen direkte sum af moduler for mere information.

Denne notation er kommutativ; således at i tilfælde af den direkte sum af to undergrupper, G = H + K = K + H. Det er også associative i den forstand, at hvis G = H + K og K = L + M, derefter G = H + = H + L + M.

En gruppe, der kan udtrykkes som en direkte summen af ​​ikke-trivielle undergrupper kaldes nedbrydeligt; ellers det kaldes indecomposable.

Hvis G = H + K, så det kan bevises, at:

  • for alle t på H, K i K, vi har, at h * k = k * t
  • for alle g i G, der findes unikke h i H, K i K således at g = h * k
  • Der er en annullering af det beløb i en kvotient; så / K er isomorf til H

Ovenstående udsagn kan generaliseres til tilfældet med G = ΣHi, hvor {Hi} er et endeligt sæt undergrupper.

  • hvis jeg ≠ j, så for alle hi i Hej, hj i Hj, vi har, at hi * hj = hj * hi
  • for hver g i G, der unikt sæt af {hi i Hi} således at
  • Der er en annullering af det beløb i en kvotient; således at + K) / K er isomorf til ΣHi

Bemærk ligheden med det direkte produkt, hvor hver g kan udtrykkes entydigt som

Da hi * hj = HJ * hi for alle Jeg ≠ j, følger det, at multiplikation af elementer i en direkte sum er isomorf til multiplikation af de tilsvarende elementer i det direkte produkt; dermed for finite sæt undergrupper, ΣHi er isomorf til det direkte produkt × {Hej}.

Direkte summand

Givet en gruppe, siger vi, at en undergruppe er en direkte summand af hvis og kun hvis der findes en anden undergruppe sådan, at er den direkte sum af undergrupper og

I abelske grupper, hvis et deleligt undergruppe af så er en direkte summand af.

Eksempler

  • Hvis vi tager
  • Hvis et deleligt undergruppe af en abelsk gruppe. Så er der tale om en anden undergruppe således at
  • Jeg er også et vektorrum kan derefter writen som en direkte sum og anden subespace som vil være isomorf med kvotienten.

Ligestilling af decompositions i direkte summer

I nedbrydning af en endelig gruppe i en direkte sum af indecomposable undergrupper indlejringen af ​​undergrupperne er ikke enestående; for eksempel i Klein-gruppen, V4 = C2 × C2, vi har, at

Men det er indholdet af Remak-Krull-Schmidt sætning, der gives en endelig gruppe G = ΣAi = ΣBj, hvor hver Ai og hver Bj er ikke-triviel og indecomposable, de to beløb har lige vilkår på op til genbestilling og isomorfi.

Den Remak-Krull-Schmidt teorem mislykkes for uendelig grupper; tilfældet af uendelig G = H + K = L + M, selv når alle undergrupper er ikke-triviel og indecomposable, kan vi ikke antager, at H er isomorf til enten L eller M.

Generalisering til summer over uendelige sæt

At beskrive de ovennævnte egenskaber i det tilfælde, hvor G er den direkte sum af en uendelig række undergrupper, der er behov for mere pleje.

Hvis g er et element af den kartesiske produkt Π {Hi} af et sæt grupper, lad gi være den i'te element g i produktet. Den eksterne direkte sum af et sæt af grupper {Hej} er delmængde af Π {Hej}, hvor for hvert element g ΣE {Hej}, gi er identiteten for alle, men et endeligt antal gi. Gruppen operation i den eksterne direkte sum er punktvis multiplikation, som på sædvanlig direkte produkt.

Denne delmængde er faktisk danner en gruppe; og et endeligt sæt af grupper Hi, den eksterne direkte sum er identisk med det direkte produkt.

Hvis G = ΣHi, så G er isomorf at ΣE {Hi}. I en vis forstand den direkte sum er en "intern" eksterne direkte sum. For hvert element g i G, der er en unik endeligt sæt S og unikke {hej i Hi: i i S} således at g = Π {hej: i i S}.

  0   0

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha