Dialectica fortolkning

I bevis teori, Dialectica fortolkning er et bevis tolkning af intuitionistic aritmetiske ind i en begrænset form forlængelse af primitiv rekursiv aritmetik, at den såkaldte System T. Den blev udviklet af Kurt Gödel give en konsistens bevis for aritmetik. Navnet på den fortolkning, kommer fra tidsskriftet Dialectica, hvor Gödels papir blev offentliggjort i et særnummer dedikeret til Paul Bernays på hans 70 års fødselsdag.

Motivation

Via Gödel-Gentzen negativ oversættelse, havde konsistensen af ​​klassisk Peano aritmetiske allerede blevet reduceret til sammenhængen i intuitionistic Heyting aritmetik. Gödel motivation for at udvikle Dialectica fortolkning var at opnå en relativ konsistens bevis for Heyting aritmetik.

Dialectica fortolkning af intuitionistic logik

Fortolkningen har to komponenter: en formel oversættelse og et bevis oversættelse. Formlen oversættelse beskriver, hvordan hver formel af Heyting aritmetik er knyttet til et kvantor-fri formel af systemet T, hvor og er tupler af friske variabler. Intuitivt fortolkes som. Beviset oversættelse viser, hvordan et bevis for har nok information til at se fortolkning af, dvs. bevis for kan omdannes til en lukket sigt og et bevis for i systemet T.

Formel oversættelse

Den kvantor-fri formel defineres induktivt på den logiske struktur som følger, hvor er en atomar formel:

Proof oversættelse

Formlen fortolkning er sådan, at når er beviselig i Heyting aritmetiske så findes der en sekvens af lukkede begreber, der er beviselig i systemet T. Rækkefølgen af ​​vilkår, og beviset for er konstrueret af den givne bevis for i Heyting aritmetik. Konstruktionen af ​​er ganske ligetil, bortset sammentrækning aksiom, som kræver den antagelse, at kvantifikator-fri formler er afgørbart.

Karakterisering principper

Det har også vist sig, at Heyting aritmetiske udvidet med følgende principper

  • Udvalgsaksiomet
  • Markov princip
  • Uafhængighed af præmissen for universelle formler

er nødvendigt og tilstrækkeligt til at karakterisere formlerne HA, som er tolkes af den Dialectica fortolkning.

Udvidelser af grundlæggende fortolkning

Den grundlæggende Dialectica fortolkning af intuitionistic logik er blevet udvidet til forskellige stærkere systemer. Intuitivt kan Dialectica fortolkning anvendes på en stærkere systemet, så længe Dialectica fortolkningen af ​​den ekstra princip kan ses af vilkår i systemet T.

Induktion

I betragtning af Gödels ufuldstændige teorem er det rimeligt at forvente, at systemet T skal indeholde ikke-finitistic konstruktioner. Faktisk dette er tilfældet. De ikke-finitistic konstruktioner dukke op i fortolkningen af ​​matematiske induktion. Til opnåelse af en Dialectica fortolkning af induktion, Gödel gør brug af det, der i dag kaldes Gödels primitive rekursive funktionaler, som er højere ordens funktioner med primitive rekursive beskrivelser.

Klassisk logik

Formler og beviser i klassisk aritmetik kan også gives en Dialectica tolkning via en indledende indlejring i Heyting aritmetiske fulgte Dialectica fortolkning af Heyting aritmetik. Shoenfield, i sin bog, kombinerer den negative oversættelse og Dialectica tolkning til en enkelt fortolkning af klassisk aritmetik.

Forståelsen

I 1962 udvidede Spector Gödels Dialectica fortolkning af aritmetik til fuld matematisk analyse, ved at vise, hvordan skemaet af tællelig valg kan gives en Dialectica fortolkning ved at udvide systemet T med bar rekursion.

Dialectica fortolkning af lineære logik

Dialectica fortolkning er blevet anvendt til at bygge en model af Girard raffinering af intuitionistic logik kendt som lineære logik, via de såkaldte Dialectica rum. Da lineær logik er en videreudvikling af intuitionistic logik kan Dialectica fortolkning af lineære logik også ses som en videreudvikling af Dialectica fortolkning af intuitionistic logik.

Selv den lineære fortolkning validerer svækkelsen regel betyder Dialectica rum fortolkning ikke validere svækkelse for vilkårlige formler.

Varianter af Dialectica fortolkning

Der er blevet foreslået adskillige varianter af Dialectica fortolkningen siden. Mest bemærkelsesværdigt i Diller-Nahm variant og Kohlenbach s monotone og Ferreira-Oliva afgrænset fortolkninger. Omfattende behandlinger af den fortolkning, kan findes på, og.

  0   0
Forrige artikel Autricourt
Næste artikel Flame shell

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha