Crank af en skillevæg

I talteori, kranken af ​​en partition af et heltal er en vis heltal associeret med partition. Begrebet blev først introduceret uden en definition af Freeman Dyson i et papir udgivet i Eureka, et tidsskrift udgivet af Matematik Society of Cambridge University. Dyson derefter gav en liste over ejendomme dette endnu ikke defineret mængde bør have. George E. Andrews og F.G. Garvan i 1988 opdagede en definition af krumtap opfylder egenskaberne hypotese for det ved Dyson.

Dysons krank

Lad n være et ikke-negativt heltal og lad p betegne antallet af partitioner af n er defineret til at være 1). Srinivasa Ramanujan i et papir udgivet i 1918 udtalte og viste følgende kongruenser for partitionen funktionen p, siden kendt som Ramanujan kongruenser.

  • p ≡ 0
  • p ≡ 0
  • p ≡ 0

Disse kongruenser indebærer, at skillevægge til antallet af form 5n +4 kan opdeles i 5 underklasser af samme størrelse. Den daværende kendte beviser for disse kongruenser var baseret på ideer frembringende funktioner og de ikke angive en metode til opdeling af skillevægge i underklasser af samme størrelse.

I sin Eureka papir foreslog Dyson ideen om rang af en partition. Den rang af en partition er heltal opnås ved at trække antallet af dele i skillevæggen fra den største del i partition. For eksempel rang af skillevæggen λ = {4, 2, 1, 1, 1} af 9 er 4 - 5 = - 1. betegner med N, antallet af partitioner af n rækker, hvis er kongruente modulo m til q, Dyson betragtes N og N for forskellige værdier af n og m. Baseret på empiriske beviser Dyson formuleret følgende formodninger kendt som rang gisninger.

For alle ikke-negative heltal n har vi:

  • N = N = N = N = N.
  • N = N = N = N = N = N = N

Antages det, at disse formodninger er sande, de forudsat en måde at opdele op alle partitioner af tal af formen 5n + 4 i fem klasser af samme størrelse: Put i én klasse alle de partitioner, hvis rækker er kongruente til hinanden modulo 5. Det samme ide kan anvendes til at opdele adskillelserne i heltal af fra 7N + 6 i syv lige mange klasser. Men ideen undlader at opdele partitioner af heltal af formen 11n + 6 i 11 klasser af samme størrelse, som de følgende tabel viser.

Skillevægge af heltal 6 opdelt i klasser baseret på rækker

Således rang kan ikke bruges til at bevise teorem kombinatorisk. Skrev imidlertid Dyson,

Jeg holder faktisk:

  • at der foreligger et aritmetisk koefficient ligner, men mere recondite end, rang af en skillevæg; Jeg vil kalde dette hypotetiske koefficient på "krank" af partition og betegne som M antallet af partitioner af n, hvis krumtap er kongruent til m modulo q;
  • at M = M;
  • at M = M = M = M = M;
  • det ...

Hvorvidt disse gæt er berettiget af dokumentation, jeg overlade det til læseren at afgøre. Uanset den endelige dom i eftertiden kan være, jeg tror, ​​at "krank" er unik blandt matematiske funktioner er blevet navngivet, inden det blev opdaget. Må det blive bevaret fra den forsmædelige skæbne planeten Vulcan.

Definition af håndsving

I et dokument offentliggjort i 1988 George E. Andrews og FG Garvan defineret krumtappen af ​​en partition som følger:

Rundt på partitioner af de hele tal 4, 5, er 6 beregnes i de følgende tabeller.

Pedalarme af skillevægge af 4

Pedalarme af skillevægge af 5

Pedalarme af skillevægge af 6

Notationer

For alle heltal n ≥ 0, og alle tal m, er antallet af partitioner af n med håndsving lig med m betegnet med M, bortset fra n = 1, hvor M = -M = M = 1 som givet ved følgende frembringende funktion. Antallet af skillevægge af n med håndsving lig med m modulo q er betegnet med M.

Den frembringende funktion for M er angivet nedenfor:

Grundlæggende resultat

Andrews og Garvan beviste følgende resultat, som viser, at kranken som defineret ovenfor opfylder de betingelser, givet af Dyson.

  • M = M = M = M = M = p / 5
  • M = M = M = M = M = M = M = p / 7
  • M = M = M = M = ... = M = M = p / 11

Begreberne rang og krumtap kan både bruges til at klassificere partitioner af visse heltal i underklasser af samme størrelse. Men de to begreber fremstille forskellige underklasser af skillevægge. Dette er illustreret i de følgende to tabeller.

Klassificering af skillevægge i hele tal 9 baseret på pedalarme

Klassificering af skillevægge i hele tal 9 baseret på rækker

Ramanujan og krumtappe

Overraskende har seneste arbejde af Bruce C. Berndt og hans medforfattere afsløret, at Ramanujan vidste om krumtappen, dog ikke i form, Andrews og Garvan har defineret. I en systematisk undersøgelse af den forsvundne Notebook af Ramanujan har Berndt og hans medforfattere givet betydelige beviser, at Ramanujan vidste om dissektioner af håndsvinget frembringende funktion.

  0   0
Forrige artikel 38th Infantry Brigade
Næste artikel 2004 FA Community Shield

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha