Companion matrix

I lineær algebra, Frobenius følgesvend matrix monic polynomium

er kvadratisk matrix defineres som

Med denne konvention, og på grundlag v1, ..., vn, man har

Og v1 genererer V som en K-modul: C cyklusser basisvektorer.

Nogle forfattere bruger transponerede af denne matrix, som cykler koordinater, og er mere bekvemt for nogle formål, ligesom lineære gentagelse relationer.

Karakterisering

Det karakteristiske polynomium samt den minimale polynomium af C er lig med p.

I denne forstand matricen C er "companion" af polynomiet p.

Hvis A er en n-by-n-matrix med indgange fra nogle felt K, så de følgende udsagn er ækvivalente:

  • A svarer til companion matrix over r sin karakteristiske polynomium
  • det karakteristiske polynomium af A falder sammen med den minimale polynomium af A, tilsvarende den minimale polynomium har grad n
  • der findes en cyklisk vektor vi for A, hvilket betyder, at {v, Av, Av, ..., Av} er på basis af V. Tilsvarende angiver, således at V er cyklisk som -modul; man siger, at A er regulær.

Ikke alle kvadratisk matrix svarer til en companion matrix. Men hver matrix svarer til en matrix, der består af små stykker ledsagende matricer. Endvidere kan vælges disse ledsagende matricer, så deres polynomier opdele hinanden; så de er entydigt bestemt ved A. Dette er en rationel kanoniske form af A.

Diagonalizability

Hvis p har forskellige rødder λ1, ..., λn (egenværdierne af C), så C er diagonaliserbar som følger:

hvor V er Vandermonde matrix svarende til Å-s.

I så fald, spor af beføjelser m af C-let danner summer af de samme beføjelser m fra alle rødder p,

I almindelighed kan companion matrix være ikke-diagonaliseres.

Lineære rekursive sekvenser

Givet en lineær rekursiv sekvens med karakteristiske polynomium

følgesvend matrix

genererer sekvensen, i den forstand,

inkrementerer serien med 1.

Vektoren er en egenvektor denne matrix for egenværdi t, når t er en rod af det karakteristiske polynomium p.

For c0 = -1, og alle andre ci = 0, dvs p = t-1, denne matrix reduceres til Sylvesters cyklisk forskydning matrix eller circulant matrix.

  0   0

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha