Cauchy-Kovalevskaya teorem

I matematik er Cauchy-Kovalevskaya teorem de vigtigste lokale eksistens og entydighed sætning for analytiske partielle differentialligninger forbundet med Cauchy startværdi problemer. Et særligt tilfælde blev bevist af Augustin Cauchy, og den fulde resultat af Sophie Kowalevski.

Første ordre Cauchy-Kovalevskaya teorem

Denne sætning er om eksistensen af ​​løsninger til et system med m differentialligninger i n dimensioner, når koefficienterne er analytiske funktioner. Sætningen og dens bevis gælder for analytiske funktioner af enten reelle eller komplekse variabler.

Lad K betegne enten inden for reelle eller komplekse tal, og lad V = K og W = K. Lad A1, ..., An-1 være analytiske funktioner, der er defineret på nogle kvarter i V × W og tager værdier i m × m matricer, og lad b være en analytisk funktion med værdier i V defineret på samme kvarter. Så er der et kvarter af 0 i W, som quasilinear Cauchy problem

med startbetingelse

på hyperoverflade

har en unik analytisk løsning ƒ: W → V nær 0.

Lewy eksempel viser, at sætningen ikke er gyldig for alle glatte funktioner.

Sætningen kan også angives i abstrakte vektorrum. Lad V og W være finite-dimensionelle reelle eller komplekse vektorrum, med n = dim W. Lad A1, ..., An-1 være analytiske funktioner med værdier i End og b en analytisk funktion med værdier i V, defineret på nogle det samme resultat kvarter i V × W. I dette tilfælde holder.

Bevis ved analytisk majorization

Begge sider af den partielle differentialligning kan udvides som formel potensrække og give tilbagefald relationer for koefficienterne i den formelle potensrækker for f, der entydigt bestemme koefficienterne. Taylorrækken koefficienter Ai s og b er majoriseret i matrix og vektor norm ved en simpel skalar rationel analytisk funktion. Den tilsvarende skalar Cauchy problem, der involverer denne funktion i stedet for Ai-og b har et eksplicit lokale analytisk løsning. De absolutte værdier af dets koefficienter majorize normer dem af det oprindelige problem; så den formelle potensrækker løsning skal konvergere hvor skalar løsningen konvergerer.

Højere ordens Cauchy-Kowalevski teorem

Hvis F og fj er analytiske funktioner nærheden 0, så den ikke-lineære Cauchy problem

med begyndelsesbetingelser

har en unik analytisk løsning nær 0.

Dette følger af den første ordre problemet ved at overveje de derivater af h vises på højre side som komponenter i en Vektorfunktion.

Eksempel

Varmen ligning

med den betingelse

har en unik formel potensrække løsning (ekspanderet rundt). Denne formelle potensrække imidlertid ikke konvergere for eventuelle ikke-nul værdier af t, så der er ingen analytiske løsninger i et kvarter af oprindelsen. Dette viser, at betingelsen | α | + J ≤ k ovenfor ikke kan slettes.

Cauchy-Kowalevski-Kashiwara teorem

Der er et bredt generalisering af Cauchy-Kowalevski sætning for systemer af lineære partielle differentialligninger med analytiske koefficienter, Cauchy-Kowalevski-Kashiwara sætning, på grund af Masaki Kashiwara. Denne sætning indebærer en cohomological formulering, præsenteres på det sprog, D-moduler. Eksistensen betingelse indebærer en kompatibilitet tilstand blandt de ikke-homogene dele af hver ligning og bortfaldet af en afledt functor.

Eksempel

Lad. Set. Systemet har en løsning, hvis og kun hvis betingelserne kompatibilitet kontrolleres. For at få en unik løsning skal vi inkluderer en indledende tilstand, hvor.

  0   0
Forrige artikel Chokolade Starfish
Næste artikel Amygdala kapre

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha