Cage

I den matematiske område grafteori, et bur er en almindelig graf, der har så få toppunkter som muligt for dens omkreds.

Formelt er en -graph defineret til at være en graf, hvor hvert hjørne har præcis r naboer, og hvor den korteste cyklus har en længde nøjagtigt g. Det er kendt, at en -graph findes for enhver kombination af R ≥ 2 og g ≥ 3. En -cage er en -graph med færrest mulige antal knudepunkter blandt alle -graphs.

Hvis en Moore graf eksisterer med graden r og omkreds g, skal det være et bur. Desuden grænserne på størrelserne af Moore grafer generalisere til bure: ethvert bur med ulige omkreds g skal have mindst

knuder, og enhver bur med selv omkreds g skal have mindst

toppunkter. Enhver -graph med præcis så mange hjørner er per definition en Moore graf og derfor automatisk et bur.

Der kan eksistere flere bure for en given kombination af r og g. For eksempel er der tre nonisomorphic -cages, hver med 70 knudepunkter: den Balaban 10-bur, den Harries graf og Harries-Wong graf. Men der er kun én -cage: Den Balaban 11-bur.

Kendte bure

En vis grad-én graf har ingen cyklus, og en tilsluttet grad-to graf har omkreds lig med dens antal knuder, så bure er kun af interesse for r ≥ 3. -cage er en komplet graf Kr + 1 på r + 1 knudepunkter, og -cage er en komplet todelt graf Kr, r på 2r toppunkter.

Andre bemærkelsesværdige bure omfatter Moore grafer:

  • -cage: Petersen grafen, 10 vertices
  • -cage: Den Heawood grafen, 14 vertices
  • -cage: Den Tutte-Coxeter graf, 30 vertices
  • -cage: Den Balaban 10-bur, 70 toppunkter
  • -cage: Robertson grafen, 19 knuder
  • -cage: Den Hoffman-Singleton graf, 50 knudepunkter.
  • Når r-1 er en førsteklasses magt, burene er forekomsten grafer af projektive planer.
  • Når r-1 er en førsteklasses magt, og bure er generaliserede polygoner.

Antallet af knuder i de kendte bure, for værdier af r & gt; 2 og g & gt; 2, bortset fra Projektiv fly og generelle polygoner, er:

Asymptotik

For store værdier af g, bundet Moore betyder, at antallet n af knuder skal vokse mindst enkeltvis eksponentielt som en funktion af g. Ækvivalent, kan g højst være proportional med logaritmen til n. Mere præcist,

Det menes, at denne grænse er stram eller tæt på stram. De bedst kendte nedre grænser på g er også logaritmisk, men med en mindre konstant faktor. Specifikt Ramanujan grafer opfylder det bundne

Det er usandsynligt, at disse grafer er selv bure, men deres eksistens giver en øvre grænse for antallet af knuder, der er nødvendige i et bur.

  0   0
Forrige artikel CBS Børns Film Festival
Næste artikel Udpeget skytte

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha