Buffon s noodle

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Februar 28, 2016 John Hein B 0 1

I geometrisk sandsynlighed, at problemet med Buffon s noodle er en variant af den velkendte problem med Buffon s nål, opkaldt efter Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, der levede i det 18. århundrede. Dette problem løses ved Buffon var den tidligste geometriske sandsynlighed problem, der skal løses.

Buffon s nål

Antag at der findes et uendeligt antal jævnt fordelte parallelle linjer, og vi var tilfældigt kaste en nål, hvis længde er mindre end eller lig med afstanden mellem hosliggende linier. Hvad er sandsynligheden for, at nålen vil krydse en linje? Formlen er, hvor D er afstanden mellem to tilstødende linjer, og L er længden af ​​nålen. Se denne simulering.

Bøje kanylen

Det interessante ved formlen er, at det forbliver den samme, selv når du bøjer nålen på nogen måde, du ønsker, gør det en "noodle" en stiv plan kurve. Vi drop den antagelse, at længden af ​​noodle er ikke mere end afstanden mellem de parallelle linier.

Sandsynlighedsfordelingen af ​​antallet af afgange afhænger af formen af ​​noodle, men det forventede antal krydsninger ikke; Det afhænger kun af længden L af noodle og afstanden D mellem de parallelle linier.

Dette faktum kan bevises som følger. Først formoder noodle er stykkevis lineær, dvs. består af n lige stykker. Lad Xi være antallet af gange den i'te stykke krydser en af ​​de parallelle linier. Disse stokastiske variable ikke uafhængige, men forventningerne er stadig additiv:

Med hensyn til en buet noodle som grænsen for en sekvens af stykkevis lineære nudler, konkluderer vi, at det forventede antal afgange om lodtrækningen er proportional med længden; det er nogle konstante gange længden L. Så problemet er at finde konstanten. I tilfælde noodle er en cirkel med en diameter lig med afstanden D mellem de parallelle linjer, L = πD og antallet af passager er nøjagtigt 2, med sandsynlighed 1. Så når L = πD derefter det forventede antal afgange er 2. Derfor det forventede antal krydsninger skal være 2L /.

Der er endnu en overraskende konsekvens. I tilfælde af noodle er enhver lukket kurve med konstant bredde D antallet af overfarter er også præcis 2. Dette indebærer Barbier sætning hævde, at omkredsen er den samme som for en cirkel.

  0   0
Forrige artikel Crossflatts

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha