Biquaternion

I abstrakt algebra, de biquaternions er tallene, hvor w, x, y og z er komplekse tal og elementerne i talrigt som i quaternionen gruppen. Da der er tre typer af komplekse tal, så der er tre typer af biquaternion:

  •  biquaternions når koefficienterne er komplekse tal
  • Split-biquaternions når w, x, y og z er opdelt komplekse tal
  • Dual quaternions når W, X, Y og Z er to tal.

Denne artikel handler om de almindelige biquaternions navngivet af William Rowan Hamilton i 1844. Nogle af de mere fremtrædende fortalere for disse biquaternions omfatter Alexander Macfarlane, Arthur W. Conway, Ludwik Silberstein, og Cornelius Lanczos. Som udviklede nedenfor enheden kvasi-sfære af biquaternions giver en præsentation af Lorentz-gruppen, som er grundlaget for den specielle relativitetsteori.

Algebra biquaternions kan betragtes som en tensor produkt, hvor C er inden for komplekse tal og H er algebra af quaternions. Med andre ord, de biquaternions er blot complexification af quaternions. Ses som en kompleks algebra, de biquaternions er isomorf til algebra på 2 × 2 komplekse matricer M2. De kan klassificeres som Clifford algebra. Dette er også isomorf til Pauli algebra Cℓ3,0, og endda en del af rumtid algebra Cℓ1,3.

Definition

Lad {1, i, j, k} danne grundlag for de quaternions, og lad U, V, W, X være komplekse tal, så

er en biquaternion. For at skelne kvadratrødder af minus en i biquaternions, Hamilton og Arthur W. Conway anvendt konventionen repræsentere kvadratroden af ​​minus en i skalarfeltet C ved h, da der er en i i quaternion gruppen. Derefter

Hamilton primære redegørelse om biquaternions kom i 1853 i sine Foredrag om Quaternions, nu tilgængelig i de historiske Matematiske monografier Cornell University. De to udgaver af elementer Quaternions reducerede biquaternion dækning til fordel for de virkelige quaternions. Han introducerede vilkår bivector, biconjugate, bitensor og biversor.

Betragtet som med interventionerne fra komponent-wise kommer, og multiplikation ifølge quaternionen gruppen, danner denne samling en 4-dimensionel algebra over komplekse tal. Den algebra af biquaternions er associative, men ikke kommutativ. En biquaternion er enten en enhed eller et nul divisor.

Sted i ring teori

Lineær repræsentation

Bemærk matrix produkt

hvor hver af disse tre arrays har en firkantet lig med den negative identitet matrix. Når denne matrix produkt fortolkes ij = k, så man opnår en undergruppe af matricen gruppe, der er isomorf med quaternionen gruppen. Derfor

repræsenterer biquaternion q = u + 1 + VI wj + x k. Givet nogen 2 × 2 kompleks matrix, der er komplekse værdier U, V, W og X for at sætte det i denne form, således at matricen ring er isomorf til biquaternion ringen.

Subalgebras

I betragtning af biquaternion algebra løbet skalarfeltet af reelle tal R, mængden {1, H, I, hej, j, hj, k, hk} danner et grundlag, så den algebra har otte reelle dimensioner. Bemærk kvadraterne af elementerne hej, hj, og HK er alle plus en, for eksempel,

Så subalgebra givet ved er ring isomorf til planet for split-kompleks tal, som har en algebraisk struktur bygget på enheden hyperbel. Elementerne HJ og HK også bestemme sådanne subalgebras. Endvidere er en subalgebra isomorf til tessarines.

En tredje subalgebra kaldet coquaternions er genereret af hj og HK. Første tone at = i, og at kvadratet af dette element er -1. Disse elementer generere dihedral gruppe af pladsen. Den lineære underrum med basis {1, i, hj, hk} således er lukket under multiplikation, og danner coquaternion algebra.

I forbindelse med kvantemekanik og spinor algebra, de biquaternions hej, hj, og HK, ses i M repræsentation kaldes Pauli matricer.

Algebraiske egenskaber

De biquaternions har to bøjninger:

  • den biconjugate eller biscalar minus bivector er, og
  • komplekset konjugering af biquaternion koefficienter

hvor når

Noter det

Det er klart, hvis da q er et nul divisor. Ellers er defineret i de komplekse tal. Endvidere er let kontrolleres. Dette giver en omvendt skal defineres som følger:

  • , IFF

Relation til Lorentz transformationer

Betragt nu den lineære underrum

M er ikke en subalgebra da det ikke er lukket under produkter; for eksempel. Faktisk kan M ikke danne en algebra, hvis det er ikke engang en magma.

Proposition: Hvis q er i M, da.

bevis:

Definition: Lad biquaternion g tilfredsstille gg * = 1. Derefter Lorentz forandring i forbindelse med g er givet ved

Proposition: Hvis q er i M, så T er også i M.

bevis:

Proposition:

bevis: Bemærk først, at gg * = 1 betyder, at summen af ​​kvadraterne af sine fire komplekse komponenter er én. Så summen af ​​kvadraterne af de komplekse konjugater af disse komponenter er også en. Derfor nu

Tilknyttet terminologi

Da biquaternions har været fast inventar i lineær algebra, da begyndelsen af ​​matematisk fysik, er der en vifte af begreber, der er illustreret eller repræsenteret ved biquaternion algebra. Forvandlingen gruppe har to dele, og den første del er kendetegnet ved; derefter Lorentz transformationen svarer til g er givet ved siden sådan transformation er en rotation af quaternion multiplikation, og indsamlingen af ​​dem er O Men denne undergruppe af G er ikke en normal undergruppe, så ingen kvotient gruppe kan dannes.

For at se det er nødvendigt at vise nogle subalgebra struktur i biquaternions. Lad r repræsenterer et element af området for firkantede rødder minus én i den virkelige quaternion subalgebra H. Så = 1 og planet for biquaternions givet af en kommutativ subalgebra isomorf til planet for split-kompleks tal. Ligesom den almindelige komplekse plan har en enhed cirkel, har en enhed hyperbel afgivet

Ligesom enhedscirklen vender ved multiplikation gennem en af ​​dens elementer, så hyperbel vender, fordi hvorfor disse algebraiske operatører på hyperbel kaldes hyperbolske versors. Enhedscirklen i C og enhed hyperbel i Dr er eksempler på en parameter grupper. For hver kvadratroden r fra minus én i H, der er en one-parametergruppe i biquaternions givet af

Rummet af biquaternions har en naturlig topologi gennem euklidiske metrik den 8.-plads. Med hensyn til denne topologi, G er en topologisk gruppe. Desuden har den analytiske struktur, som gør det til en seks-parameter Lie gruppe. Overvej underrum af bivectors. Så den eksponentielle kortet tager de reelle vektorer til og h-vektorer til Når udstyret med kommutatoren, A danner Lie algebra G. Således denne undersøgelse af en seks-dimensionelle rum tjener til at indføre de generelle begreber Lie teori. Når den ses i matrixen repræsentation, er G kaldes den særlige lineære gruppe SL i M.

Mange af begreberne specielle relativitetsteori er illustreret gennem biquaternion strukturer fastlagt. Underrummet M svarer til Minkowski rum, med de fire koordinater giver tid og plads placeringer af begivenheder i en hvilende referenceramme. Alle hyperbolske versor exp svarer til en hastighed i retning r af hastighed c tanh en hvor c er lysets hastighed. Den inerti referenceramme for denne hastighed kan foretages den hvilende ramme ved at anvende Lorentz boost T givet ved g = exp siden da, så Naturligvis hyperboloid som repræsenterer forskellige hastigheder for sub-luminale bevægelse, er fysisk interesse. Der har været et stort arbejde at knytte denne "hastighed rum" med hyperboloid model af hyperbolsk geometri. I specielle relativitetsteori, er den hyperbolske vinkel parameter i en hyperbolsk versor kaldet hurtighed. Således ser vi biquaternion gruppe G giver en gruppe repræsentation for Lorentz gruppen.

Efter indførelsen af ​​spinor teori, var især i hænderne på Wolfgang Pauli og Élie Cartan, at biquaternion repræsentation af Lorentz-gruppen afløst. De nye metoder blev grundlagt på basisvektorer i sættet

som kaldes "komplekse lyskeglen".

  0   0
Forrige artikel Ferenc Bán
Næste artikel Alex Hinshaw

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha