Biprodukt

I kategori teori og dens programmer til matematik, et biprodukt af en endelig samling af objekter i en kategori med nul objekt er både et produkt og en samprodukt. I en preadditive kategori begreberne produkt og samprodukt sammenfaldende for finite samlinger af objekter. Den biprodukt er en generalisering af begrænsede direkte summer af moduler.

Definition

Lad C være en kategori med nul objekt.

Givne objekter A1, ..., An i C, deres biprodukt er et objekt A1 ⊕ ··· ⊕ En sammen med morfier

  • pk: A1 ⊕ ··· ⊕ En → Ak i C
  • ik: Ak → A1 ⊕ ··· ⊕ An

tilfredsstillende

  • pk ∘ ik = 1Ak, identiteten morphism af Ak
  • pl ∘ ik = 0, nul morphism Ak → Al, for k ≠ l.

og således at

  •  er et produkt til Ak
  •  er en samprodukt for Ak.

En tom, eller nullary, produkt er altid en terminal objekt i kategorien, og den tomme samprodukt er altid en indledende objekt i kategorien. Da vores kategori C har en nul-objekt, der eksisterer den tomme biprodukt og er isomorf til nul-objekt.

Eksempler

I kategorien abelske grupper, eller biprodukter altid eksistere, og er givet ved den direkte sum. Bemærk, at nul formål er den trivielle gruppe.

Tilsvarende er der eller biprodukter i kategorien vektorrum over et felt. Den biprodukt er igen direkte sum, og nul formål er trivielt vektorrum.

Mere generelt eksisterer eller biprodukter i kategorien af ​​moduler over en ring.

På den anden side, har eller biprodukter ikke eksisterer i den kategori af grupper. Her er produktet et direkte produkt, men samprodukt er gratis produkt.

Også, eller biprodukter ikke eksisterer i den kategori af sæt. For er produktet givet ved kartesiske produkt, hvorimod samprodukt er givet ved disjunkte forening. Bemærk også, at denne kategori ikke har en nul objekt.

Egenskaber

Hvis biprodukt A ⊕ B findes for alle par af objekter A og B i kategorien C, så eksisterer alle endelige eller biprodukter.

Hvis produktet A1 × A2 og A1 samprodukt ∐ A2 begge findes for nogle objektpar Ai, så er der en unik morphism f: A1 ∐ A2 → A1 × A2, således at

  • pk ∘ f ∘ ik = 1Ak
  • pl ∘ f ∘ ik = 0 for k ≠ l.

Heraf følger, at biprodukt A1 ⊕ A2 eksisterer hvis og kun hvis f er en isomorfi.

Hvis C er en preadditive kategori, derefter hver finite produkt er et biprodukt, og hvert finite samprodukt er et biprodukt. For eksempel, hvis A1 × A2 eksisterer, så er der unikke morfier ik: Ak → A1 × A2, således at

  • pk ∘ ik = 1Ak
  • pl ∘ ik = 0 for k ≠ l.

At se, at A1 × A2 er nu også et samprodukt, og dermed en biprodukt, formoder, at vi har morfier fk: Ak → X for nogle objekt X. Definer f: = f1 ∘ p1 + F2 ∘ p2. Så f: A1 × A2 → X er et morphism og f ∘ ik = fk.

Bemærk også, at i dette tilfælde har vi altid

  • i1 ∘ p1 + i2 ∘ p2 = 1A1 × A2.

En tilsætningsstofkategorien er en preadditive kategori, hvor alle finite biprodukt eksisterer. Især eller biprodukter altid eksistere i abelian kategorier.

  0   0
Forrige artikel Alien Legion
Næste artikel Statsborgerskab Klausul

Relaterede Artikler

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha