Bidrag fra Leonhard Euler til matematik

Det 18. århundrede schweiziske matematiker Leonhard Euler er blandt de mest produktive og succesfulde matematikere i historien af ​​feltet. Hans banebrydende arbejde haft en dybtgående indflydelse på mange områder inden for matematik, og han er bredt krediteret for at indføre og populærvidenskab moderne notation og terminologi, især i analysen.

Matematisk notation

Euler indført meget af den matematiske notation i brug i dag, såsom notationen f til at beskrive en funktion og den moderne notation for de trigonometriske funktioner. Han var den første til at bruge bogstavet e for bunden af ​​den naturlige logaritme, nu også kendt som Eulers nummer. Anvendelsen af ​​det græske bogstav til at betegne forholdet mellem en cirkel omkreds og dens diameter blev også populariseret af Euler. Han er også krediteret for at opfinde den notation jeg at betegne.

Kompleks analyse

Euler ydet vigtige bidrag til kompleks analyse. Han introducerede videnskabelig notation. Han opdagede, hvad der nu er kendt som Eulers formel, der for ethvert reelt tal, den komplekse eksponentialfunktion opfylder

Det er blevet kaldt "Den mest bemærkelsesværdige formel i matematik" af Richard Feynman. Eulers identitet er et specialtilfælde af denne:

Denne identitet er især bemærkelsesværdigt, da det indebærer e ,, jeg, 1, og 0, velsagtens de fem vigtigste konstanter i matematik.

Analyse

Udviklingen af ​​calculus var på forkant med det 18. århundrede matematiske forskning, og Bernoullis familie venner af Euler var ansvarlig for meget af den tidlige udvikling på området. Forståelse af uendelige var naturligvis den største fokus for Eulers forskning. Mens nogle af Eulers beviser måske ikke have været acceptable i henhold moderne standarder for stringens, hans ideer var ansvarlig for mange store fremskridt. Først og fremmest, Euler indført begrebet en funktion, og indførte brugen af ​​eksponentiel funktion og logaritmer i analytiske beviser

Euler ofte anvendes logaritmen funktionen som et værktøj i analyse problemer, og opdagede nye måder, hvorpå de kunne anvendes. Han opdagede måder at udtrykke forskellige logaritmiske funktioner i form af magt serien, og med held definerede logaritmer for komplekse og negative tal, hvilket i høj grad udvide anvendelsesområdet hvor logaritmer kunne anvendes i matematik. De fleste forskere på området længe været af den opfattelse, at der for enhver positiv real siden ved hjælp af additiviteten tilhører logaritmer. I et 1747 brev til Jean le Rond d'Alembert, Euler definerede den naturlige logaritme af -1 som en ren imaginær.

Euler er velkendt i analyse for hans hyppige brug og udvikling af magt serien: det vil sige, udtryk for funktioner som summer af uendeligt mange termer, såsom

Især Euler opdagede magt serien udvidelser for e og den inverse tangens funktion

Hans brug af potensrækker muligt for ham at løse det berømte Basel problemet i 1735:

Desuden Euler udarbejdet teorien om højere transcendente funktioner ved at indføre gammafunktionen og indført en ny metode til at løse quartic ligninger. Han fandt også en måde at beregne integraler med komplekse grænser, foregribelse af udviklingen af ​​kompleks analyse. Euler opfundet calculus varianter herunder dets mest kendte resultat, Euler-Lagrange ligning.

Euler banebrydende også anvendelse af analytiske metoder til at løse talteori problemer. Dermed forenede han to forskellige grene af matematikken og indførte et nyt fagområde, analytisk talteori. Ved at bryde begrundelse for dette nye område, Euler skabte teorien om hypergeometriske serie, q-serien, hyperbolske trigonometriske funktioner og den analytiske teori om fortsatte fraktioner. For eksempel, han beviste uendelighed af primtal hjælp afvigelsen i harmoniske række, og brugte analytiske metoder til at få en vis forståelse for den måde primtal er fordelt. Eulers arbejde på dette område førte til udviklingen af ​​det primtal teorem.

Talteori

Eulers store interesse i talteori kan spores til indflydelse af sin ven i St. Peterburg Academy, Christian Goldbach. En masse af hans tidlige arbejde med talteori var baseret på værker af Pierre de Fermat, og udviklet nogle af Fermat ideer.

Et fokus i Eulers arbejde var at knytte karakteren af ​​prime fordeling med ideer i analysen. Han beviste, at summen af ​​reciprokke af primtal divergerer. Dermed opdagede han forbindelsen mellem Riemann zeta funktion og primtal, kendt som Euler produktet formel for Riemanns zeta-funktion.

Euler beviste Newtons identiteter, Fermats lille sætning, Fermats sætning om summer af to felter, og gjort tydelige bidrag til Lagranges firkantet teorem. Han opfandt også totient funktion φ der tildeler til et positivt heltal n antallet af positive heltal mindre end n og indbyrdes primiske til n. Brug af egenskaber for denne funktion var han i stand til at generalisere Fermats lille sætning til, hvad der ville blive kendt som Eulers sætning. Han yderligere bidraget væsentligt til forståelsen af ​​perfekte tal, som havde fascineret matematikere siden Euklid. Euler gjort fremskridt hen imod primtal sætning og formodede loven om kvadratisk gensidighed. De to begreber er betragtes som de grundlæggende teoremer af talteori, og hans ideer banede vejen for Carl Friedrich Gauss.

Grafteori og topologi

I 1736 Euler løst, eller rettere viste sig uløselige, et problem, kendt som de syv broer af Königsberg. Byen Königsberg, er Kongeriget Preussen indstillet på Pregel floden, og omfattede to store øer, der blev forbundet med hinanden og fastlandet med syv broer. Spørgsmålet er, om det er muligt at gå med en rute, der krydser hver bro præcis én gang, og vende tilbage til udgangspunktet. Eulers opløsning af Königsberg broen problem anses for at være den første sætning af grafteori. Hertil kommer, hans erkendelse af, at de centrale oplysninger var antallet af broer og listen over deres endepunkter varslede udviklingen af ​​topologi.

Euler også bidrag til forståelsen af ​​plane grafer. Han indførte en formel, der regulerer forholdet mellem antallet af kanter, hjørner og flader af en konveks polyeder. Givet sådan et polyeder, den alternerende sum af vertices, kanter og flader er lig med en konstant: V - E + F = 2. Denne konstante, χ, er Euler karakteristik af flyet. Undersøgelsen og generalisering af denne ligning, specielt ved Cauchy og Lhuillier, ligger til grund for topologi. Euler karakteristik, som kan generaliseres til et vilkårligt topologisk rum som alternerende summen af ​​Betti numre, naturligt opstår fra homologi. Især er det lig med 2 - 2g for en lukket orienteret overflade med slægten g og 2 - k for en ikke-orienteret flade med k crosscaps. Denne egenskab førte til definitionen af ​​omdrift i topologisk grafteori.

Anvendt matematik

Nogle af Eulers største succeser var i anvendelse analytiske metoder til virkelige verdens problemer, der beskriver en lang række anvendelser af Bernoullis numre, Fourier serier, Venn diagrammer, Euler numre, e og Tr konstanter, fortsatte fraktioner og integraler. Han integrerede Leibniz 'differentialregning med Newtons Metode til Fluxions, og udviklet værktøjer, der gjorde det lettere at anvende calculus til fysiske problemer. Især gjorde han store fremskridt med at forbedre numerisk tilnærmelse af integraler, opfinde, hvad der nu er kendt som Euler tilnærmelser. Den mest bemærkelsesværdige af disse tilnærmelser er Euler-metoden og Euler-Maclaurin formel. Han lettede også brugen af ​​differentialligninger, især indføre Euler-Mascheroni konstant:

Et af Eulers mere usædvanlige interesser var anvendelsen af ​​matematiske ideer i musik. I 1739 skrev han Tentamen novae theoriae Musicae, i håb om at i sidste ende integrere musikteori som en del af matematik. Denne del af hans arbejde, men modtog ikke bred opmærksomhed og blev engang beskrevet som alt for matematisk for musikere og for musikalsk for matematikere.

Værker

Værkerne, som Euler offentliggøres særskilt er:

  • Dissertatio physica de sono
  • Mechanica, tende motus scientia analytice; expasita
  • Einleitung in die Arithmetik, på tysk og russisk
  • Tentamen novae theoriae Musicae
  • Målemetode inveniendi Lineas curvas, Maximi minimive proprietate gaudentes
    • Additamentum II
  • Theoria motuum planetarum et cometarum
  • Beantwortung, & C. eller Svar på forskellige spørgsmål respekterer Kometer
  • Neue Grundsatze, & C. eller Nye Principper for artilleri, oversat fra engelsk af Benjamin Robins, med noter og illustrationer
  • Opuscula varii argumenti
  • Novae et carrectae tabulae ad loco Lunae computanda
  • Tabulae astronomicae solis et Lunae
  • Gedanken, & C. eller tanker om elementerne i organer
  • Rettung der galde-lichen Offenbarung, & amp; c., Forsvar af guddommelig åbenbaring mod frie-tænkere
  • Introductio i analysin infinitorum
  • Scientia navalis, seu Tractatus de construendis ac dirigendis navibus
  • Exposé concernant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz
  • Theoria Motus Lunae
  • Dissertatio de principio mininiae actionis, una cum undersøger objectionum cl. prof. Koenigii
  • Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu i analysi Intuitorum ac Doctrina serierum
  • Konstruk lentium objectivarum, & amp; c.
  • Theoria motus Corporum solidorum seu rigidorum
  • Institutiones, calculi INTEGRALIS
  • Lettres et une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de fysik et de philosophie
  • Anleitung Zur Algebra Elementer af Algebra; Dioptrica
  • Theoria motuum lunge nova methodo pertr. arctata '
  • Novae Tabulae Lunares; La Theorie færdiggøre de la konstruktion et de la manteuvre des vaisseaux
  • Eclaircissements SVR ETABLISSEMENTS da fordel stram des Veuves que des marts, uden dato
  • Opuscula Analytica. Se F. Rudio, Leonhard Euler.
  0   0
Forrige artikel Damian Mori
Næste artikel Albertite

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha