Bernstein uligheder

I sandsynlighedsteori, Bernstein uligheder giver grænser på sandsynligheden for, at summen af ​​stokastiske variable afviger fra middelværdien. I det enkleste tilfælde, lad X1, ..., Xn er uafhængige Bernoulli stokastiske variable tager værdier +1 og -1 med sandsynlighed 1/2, derefter for ethvert positivt,

Bernstein uligheder blev bevist og offentliggjort af Sergei Bernstein i 1920'erne og 1930'erne. Senere blev disse uligheder genopdaget flere gange i forskellige former. Således er særlige tilfælde af Bernstein uligheder også kendt som Chernoff bundet, Hoeffding ulighed og Azuma ulighed.

Nogle af de uligheder

1. Lad X1, ..., Xn være uafhængige nul-gennemsnitlige stokastiske variable. Antag, at | X i | ≤ M næsten helt sikkert, for alle i. Derefter for alle positive t,

2. Lad X1, ..., Xn være uafhængige stokastiske variable. Antag, at der for nogle positive reelle L og hvert heltal k & gt; 1,

Derefter

3. Lad X1, ..., Xn være uafhængige stokastiske variable. Antag, at

for alle heltal k & gt; 3. Betegne

Derefter

4. Bernstein også vist generaliseringer af ulighederne ovenfor for svagt afhængige stokastiske variable. For eksempel kan ulighed udvides som følger. Lad X1, ..., Xn være muligvis ikke-uafhængige stokastiske variable. Antag at for alle heltal i & gt; 0,

Derefter

Flere generelle resultater for martingaler kan findes i Fan et al ..

Beviser

De beviser bygger på en anvendelse af Markovs ulighed til den stokastiske variabel

for et passende valg af parameteren λ & gt; 0.

  0   0
Forrige artikel Cornus piggae
Næste artikel Christy Ferér

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha