Bernoullis ulighed

I reel analyse, Bernoullis ulighed er en ulighed, der tilnærmer potens af 1 + x.

Uligheden hedder det

for hvert heltal r ≥ 0 og hver reelt tal x ≥ -1. Hvis eksponenten r er endog, da ulighed gælder for alle reelle tal x. Den strenge udgave af ulighed læser

for hvert heltal r ≥ 2 og hver reelt tal x ≥ -1 med x ≠ 0.

Bernoullis ulighed bruges ofte som den afgørende skridt i beviset for andre uligheder. Den selv kan bevises ved hjælp af matematiske induktion, som vist nedenfor.

Bevis for ulighed

For r = 0,

svarer til 1 ≥ 1, som er sandt, som kræves.

Nu formoder udsagnet er sandt for r = k:

Så følger det, at

Men som 1 + x + kx ≥ 1 + x, følger det, at ≥ 1 + x, hvilket betyder, at udsagn er sandt for r = k + 1 efter behov.

Ved induktion vi konkludere udsagnet er sandt for alle r ≥ 0.

Generalisering

Eksponenten r kan generaliseres til et vilkårligt reelt tal som følger: hvis x & gt; -1, Så

for r ≤ 0 eller r ≥ 1, og

til 0 ≤ R ≤ 1.

Denne generalisering kan bevises ved at sammenligne derivater. Igen, de strenge versioner af disse uligheder kræver x ≠ 0 og r ≠ 0, 1.

Relaterede uligheder

Følgende ulighed anslår r-th effekt på 1 + x fra den anden side. For alle reelle tal x, r & gt; 0, man har

hvor e = 2,718 .... Dette kan bevises ved hjælp af ulighed & lt; e.

Alternativ form

En alternativ form for Bernoulli ulighed for og er:

Dette kan bevises ved hjælp af formlen for geometriske serier:

eller ækvivalent

Bevis for rationel sag

Kan gives en "elementær" bevis ved hjælp af, at geometriske gennemsnit af positive tal er mindre end aritmetisk middelværdi

Først antager

Ved at sammenligne aritmetik og Geometrisk gennemsnit af tal:

vi får

eller ækvivalent

Det beviser ulighed for sagen.

For tilfælde, lad Som vi får med,

Det beviser ulighed for sagen.

Da disse uligheder er sande for alle rationelle tal og de er også sandt for alle reelle tal, der følger af en massefylde argument rationals i reelle tal, og det faktum, at de funktioner, der er involveret, er kontinuerlig.

  0   0
Forrige artikel Faraday bølge
Næste artikel Christopher Calthorpe

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha