Bernoulli ordning

I matematik, Bernoulli-ordningen eller Bernoulli skift er en generalisering af Bernoulli-processen til mere end to mulige udfald. Bernoulli ordninger er vigtige i studiet af dynamiske systemer, som de fleste sådanne systemer udviser en repellor der er produktet af Cantor sæt og en glat manifold, og dynamikken på Cantor sæt er isomorf med den Bernoulli skift. Dette er i det væsentlige Markov partition. Udtrykket skift er i forhold til skiftet operatør, som kan bruges til at studere Bernoulli ordninger. Den Ornstein isomorfi sætning viser, at Bernoulli skift er isomorfe når deres entropi er lige.

Definition

En Bernoulli ordningen er en diskret-tid stokastisk proces, hvor hver uafhængig stokastisk variabel kan antage en af ​​N forskellige mulige værdier, med resultatet i forekommende med sandsynlighed, med i = 1, ..., N, og

Udfaldsrummet sædvanligvis betegnet som

som en forkortelse for

Den tilhørende foranstaltning kaldes Bernoulli foranstaltning

Den σ-algebra på X er produktet sigma algebra; det vil sige, det er det direkte produkt af a-algebraer af den endelige mængden {1, ..., N}. Således triplet

er en foranstaltning plads. En baggrund af er cylinder sæt. I betragtning af en cylinder sæt, dens foranstaltning

Det tilsvarende udtryk, ved hjælp af notationen af ​​sandsynlighedsteori, er

de stokastiske variable

Bernoulli-ordningen, som enhver stokastiske proces, kan ses som et dynamisk system ved at give det med skiftet operatør T hvor

Da resultaterne er uafhængige, skiftet bevarer foranstaltning, og dermed T er en foranstaltning-bevare transformation. Den firling

er et mål-bevare dynamiske system, og kaldes en Bernoulli ordning eller en Bernoulli skift. Det er ofte betegnet med

N = 2 Bernoulli ordningen kaldes en Bernoulli proces. Bernoulli skift kan forstås som et særligt tilfælde af Markov skift, hvor alle poster i nabomatricen er ét, den tilsvarende graf således at være en klike.

Generaliseringer

De fleste af egenskaberne af Bernoulli ordningen følger af tælleligt direkte produkt, snarere end fra det endelige basen plads. Man kan således tage udgangspunkt plads at være nogen standard sandsynlighedsrum og definere Bernoulli ordningen som

Dette virker, fordi det tællelig direkte produkt af en standard sandsynlighed rum er igen en standard sandsynlighed plads.

Som en yderligere generalisering, kan man erstatte i heltal med en tællelig diskret gruppe, så

Til denne sidste tilfælde er skiftet operatør erstattet af gruppens handling

for gruppe elementer og forstås som en funktion. Foranstaltningen tages som Haar foranstaltning, som er invariant under gruppen handling:

Disse generaliseringer er også almindeligt kaldes Bernoulli ordninger, da de stadig deler de fleste ejendomme med begrænsede tilfælde.

Egenskaber

Ya. Sinai viste, at Kolmogorov entropi af et Bernoulli ordning er givet ved

Dette kan ses som et resultat af den generelle definition af entropi et kartesisk produkt af sandsynlighedsrum, som følger af den asymptotiske Ligefordelingsloven ejendom. I tilfælde af en generel basis plads, man typisk finder den relative entropi. Så for eksempel, hvis man har en tællelig partition af basen Y, således at, kan man definere entropien som

I almindelighed vil denne entropi afhænger af skillevæggen; Men for mange dynamiske systemer, er det sådan, at de symbolske dynamik er uafhængig af skillevæggen, og så sådanne systemer kan have en veldefineret entropi uafhængigt af skillevæggen.

Den Ornstein isomorfi sætning hedder det, at to Bernoulli ordninger med samme entropi er isomorfe. Resultatet er skarpe, i, at meget lignende, ikke-ordningen, såsom Kolmogorov automorphisms, ikke har denne egenskab.

Den Ornstein isomorfi sætning er i virkeligheden betydeligt dybere: Det giver en enkel kriterium, hvorved mange forskellige måle-bevare dynamiske systemer kan bedømmes at være isomorf til Bernoulli ordninger. Resultatet var overraskende, da mange systemer tidligere menes at være relateret viste sig at være isomorf. Disse omfatter alle endelige stationære stokastiske processer, subshifts af finite form, finite Markov kæder, Anosov strømme og Sinai s billard: disse er alle isomorf til Bernoulli ordninger.

For generaliseret tilfælde Ornstein isomorpism teorem stadig holder, hvis gruppen G er en tælleligt uendeligt medgørlige gruppe.

Bernoulli automorphism

En vendbar, foranstaltning-bevare transformation af en standard sandsynlighedsrum kaldes en Bernoulli automorphism hvis det isomorf til en Bernoulli skift.

  0   0
Forrige artikel Eve Langley
Næste artikel Aquaponics

Relaterede Artikler

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha