Beauville-Laszlo teorem

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
August 19, 2016 Vagn Wilke B 0 0

I matematik, det Beauville-Laszlo teorem er et resultat i kommutativ algebra og algebraisk geometri, der tillader en at "lim" to skiver end en forsvindende lille kvarter af et punkt på en algebraisk kurve. Det blev bevist af Arnaud Beauville og Yves Laszlo.

Sætningen

Selv om det har konsekvenser i algebraisk geometri, sætningen er en lokal resultat og erklærede i sin mest primitive form til Kommutativ ringe. Hvis A er en ring og f er en nul element i A, så kan vi danne to afledte ringe: lokalisering ved f, AF, og færdiggørelsen på AF, a; begge er A-algebraer. I det følgende antager vi, at f er en ikke-nul divisor. Geometrisk er et ses som en ordning X = Spec A og f som en divisor på Spec A; derefter AF er dens komplement Df = Spec AF, det vigtigste åben sæt bestemmes af f, mens en er en "forsvindende lille kvarter" D = Spec  på. Skæringspunktet mellem Df og Spec  er en "punkteret uendeligt kvarter" D om, svarende til Spec  ⊗A Af = Spec AF.

Antag nu, at vi har en A-modul M; geometrisk, M er et neg på Spec A, og vi kan begrænse det til både hovedstol åben indstillede Df og uendelig lille kvarter Spec Â, hvilket giver en AF-modul F og en a-modul G. algebraically,

 F og G kan både være yderligere begrænset til den punkterede kvarter D og da begge begrænsninger i sidste ende stammer fra M, de er isomorfe: vi har en isomorfi

Nu overveje omvendte situation,: vi har en ring A og et element f, og to moduler: en AF-modul F og en a-modul G, sammen med en isomorfi φ som ovenfor. Geometrisk, får vi en ordning X og både en åben sæt Df og en "lille" kvarter D i sin lukkede komplement; på Df og D vi får to skiver, der er enige på skæringspunktet D = Df ∩ D. Hvis D var en åben sæt i Zariski topologi vi kunne lime neg; indholdet af Beauville-Laszlo teorem er, at under en teknisk antagelse om f, det samme gælder for den forsvindende kvarter D så godt.

Sætning: I betragtning af A, f, F, G og φ som ovenfor, hvis G ikke har f-torsion, så findes der et A-modul M og isomorfier

overensstemmelse med isomorfi φ: φ er lig med sammensætningen

Den tekniske tilstand at G har ingen f-vridning omtales af forfatterne som "f-regularitet". Faktisk kan man angive en stærkere version af denne sætning. Lad M være den kategori af A-moduler, og lad Mf være den fulde underkategori af f-regelmæssig moduler. I denne notation, vi får en kommutativ diagram over kategorier = M):

hvor pilene er basis-skift kort; for eksempel den øverste vandrette pil virker på objekter af M → M ⊗A Â.

Sætning: Ovenstående diagram er et kartesiansk diagram af kategorier.

Globale version

I geometrisk sprog, den Beauville-Laszlo teorem gør det muligt at lime skiver på en endimensional affin ordning over en uendelig lille kvarter af et punkt. Da neg har en "lokal karakter", og da enhver ordning er lokalt affin, sætningen indrømmer en global opgørelse af samme art. Den version af denne erklæring, at forfatterne fundet bemærkelsesværdige bekymringer vektor bundter:

Sætning: Lad X være en algebraisk kurve over et felt k, xa k-rationelle glat punkt på X med uendeligt kvarter D = Spec k], Ra k-algebra, og ra positivt heltal. Så den kategori VECTR af rang-r vektorbundter på kurven XR = X × Spec k Spec R passer ind i en kartesiske diagram:

Dette medfører en konsekvens angivet i papiret:

Korollar: Med den samme opsætning, betegne som TRIV det sæt af tredobler, hvor E er en vektor bundt på XR, τ er en trivialisering af E løbet RR) og σ en trivialisering i DR. Så kortene i ovenstående diagram fremlægge en bijektion mellem TRIV og GLR))) er den formelle Laurent serien ring).

Den naturlige konsekvens følger af sætning i at triple er forbundet med den unikke matrix, der betragtes som en "overgang funktionen" over DR mellem de trivielle bundter end R og over DR, tillader limning dem til at danne E, med de naturlige trivializations af limet bundt derefter at blive identificeret med σ og τ. Betydningen af ​​denne konsekvens er, at det viser, at affine Grassmannian kan dannes enten fra data for bundter end et uendeligt lille disk, eller bundter på en hel algebraisk kurve.

  0   0
Forrige artikel 72. punjabis
Næste artikel Eleni Karaindrou

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha