Basel problem

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Maj 15, 2016 Isabella Stang B 0 10

Basel Problemet er en berømt problem i matematisk analyse med relevans for talteori, først stillet af Pietro Mengoli i 1644 og løst af Leonhard Euler i 1735. Eftersom problemet havde modstået angreb af de førende matematikere af dagen, Eulers løsning bragte ham øjeblikkelig berømmelse, da han var otte og tyve. Euler generaliserede problemet betydeligt, og hans ideer blev taget op år senere af Bernhard Riemann i hans skelsættende 1859 papir om antallet af Primes mindre end en given størrelse, hvor han definerede sin zeta funktion og beviste sine grundlæggende egenskaber. Problemet er opkaldt efter Basel, hjemby Euler samt af Bernoulli familie, der forgæves angrebet problemet.

Basel problem beder om den præcise summation af reciprokke af kvadraterne af naturlige tal, dvs den præcise summen af ​​uendelig række:

Serien er omtrent lig med 1,644934. Basel problem beder om den nøjagtige sum af denne serie, samt en dokumentation for, at dette beløb er korrekt. Euler fandt det nøjagtige beløb, der skal Tr / 6 og bebudede denne opdagelse i 1735. Hans argumenter var baseret på manipulationer, der ikke skyldtes dengang, og det var ikke før 1741, at han var i stand til at producere en virkelig stringent bevis.

Eulers metode

Eulers oprindelige afledning af værdien π / 6 væsentlige udvidede bemærkninger om finite polynomier og antog, at disse samme egenskaber gælde for uendelige rækker. Selvfølgelig Eulers oprindelige ræsonnement kræver begrundelse, men selv uden begrundelse, ved blot at opnå den korrekte værdi, var han i stand til at kontrollere det numerisk mod partielle summer af serien. Aftalen han observerede gav ham tilstrækkelig tillid til at annoncere sin resultat til det matematiske samfund.

For at følge Euler argument, husker Taylor serie udvidelse af sinus-funktionen

Opdeling igennem med x, har vi

Nu, rødderne af sin / x opstår netop på, hvor Lad os antage at vi kan udtrykke dette uendelig række som et produkt af lineære faktorer givet af sine rødder, ligesom vi gør for finite polynomier:

Hvis vi formelt formere ud dette produkt og indsamle alle de x vilkår, ser vi, at x koefficient på sin / x er

Men fra den oprindelige uendelig række udvidelse af sin / x, koefficienten for x er -1 / = -1/6. Disse to koefficienter skal være lig; dermed,

Multiplikation gennem begge sider af denne ligning med giver summen af ​​reciprokke værdier af positive heltal firkantede.

Riemann zeta-funktion

Riemann zeta-funktionen er en af ​​de vigtigste funktioner i matematik, på grund af dens forhold til fordelingen af ​​primtal. Funktionen er defineret for ethvert komplekst tal s med reelle del & gt; 1 ved den følgende formel:

Tage s = 2, ser vi, at er lig med summen af ​​de reciprokke værdier af kvadraterne af positive heltal:

Konvergens kan bevises med følgende ulighed:

Det giver os den øvre grænse, og fordi den uendelige sum har kun positive vendinger, skal den konvergere. Det kan påvises, at har en dejlig udtryk i forhold til de Bernoulli numre, hvis S er et positivt endda heltal. Med:

En stram bevis hjælp Fourierrækker

Lad over intervallet x ∈. Fourier-serien for denne funktion er

Derefter bruger Parseval identitet har vi, at

hvor

for n ≠ 0, og a0 = 0. Således

for n ≠ 0 og

Derfor

som krævet.

En stram elementære bevis

Dette er langt den mest elementære velkendte bevis; mens de fleste beviser bruge resultater fra avanceret matematik, såsom Fourier-analyse, kompleks analyse, og multivariable calculus, er følgende ikke engang kræve enkelt variabel calculus.

For et bevis ved hjælp af sætningen rest, se den linkede artikel.

Historie i denne dokumentation

Beviset går tilbage til Augustin Louis Cauchy. I 1954 dette bevis dukkede op i bogen af ​​Akiva og Isaak Yaglom "Nonelementary Problemer i en Elementær Exposition". Senere, i 1982, viste det sig i tidsskriftet Eureka, tilskrevet John Scholes, men Scholes hævder, at han har lært beviset fra Peter Swinnerton-Dyer, og under alle omstændigheder fastholder han beviset var "almindeligt kendt på Cambridge i slutningen af ​​1960'erne".

Beviset

Hovedidéen bag beviset er at bundet de partielle summer

mellem to udtryk, som hver især vil have tendens til TT / 6 som m nærmer uendelig. De to udtryk er afledt af identiteter involverer cotangens og cosekant funktioner. Disse identiteter er igen afledt af de moivres formel, og vi nu vende tilbage til etableringen af ​​disse identiteter.

Lade være et reelt tal med, og lad n være et positivt ulige heltal. Så fra de moivres formel og definition af cotangens funktion, vi har

Fra binomial sætning, vi har

Ved at kombinere de to ligninger og sidestille imaginære dele giver identiteten

Vi tager denne identitet, fastsætte et positivt heltal, sæt og overveje for. Så er et multiplum af og dermed et nul i sinusfunktion, og så

for hver. Værdierne er forskellige tal i intervallet. Da funktionen er en-til-en på dette interval, er forskellige for r = 1, 2, ..., m tallene. Ved ovenstående ligning, disse m numre er rødderne af mth grad polynomium

Ved Viète formler kan vi beregne summen af ​​rødderne direkte ved at undersøge de to første koefficienter af polynomiet, og denne sammenligning viser, at

Substitution identitet, har vi

Nu betragter ulighed. Hvis vi tilføje op alle disse uligheder for hvert af de numre, og hvis vi bruge de to identiteter ovenfor, får vi

Multiplikation igennem med), bliver dette

Som m nærmer uendelig, venstre og højre hånd udtryk hver tilgang, så ved squeeze sætning,

og dette afslutter beviset.

Pakning Squares med Side 1 / n

Løsningen til Basel problemet er relateret til pakning kvadrater med sidelængde på. Det spørgsmål, der bliver bedt om, er "Hvad er det mindste rektangel der kan indeholde firkanterne som n nærmer sig uendelig?" Et bundet til svaret er afhængige af en rektangel side ,, at være summen af ​​de største to pladser sider summerede sammen,

Den anden rektangel siden ,, afhænger rækkefølgen af ​​de resterende pladser. Men vi ved, at det samlede areal, A, af kvadraterne er:

Opdeling pladsen samlede areal af den ene kendte rektangel side forlader den ideelle rektangel sidelængde,

Den nuværende pakning rekordindehaver er Marc Paulhus, som udviklede en pakning algoritme.

  0   0
Forrige artikel Derek Raivio
Næste artikel 1995 Frankrig

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha