Banach rum

I matematik, mere specifikt i funktionel analyse, et Banach rum er en komplet normerede vektorrum plads. Således er en Banachrumsteori er et vektorrum med en metrik, der tillader beregning af vektor længde og afstanden mellem vektorer og er komplet i den forstand, at en Cauchy sekvens af vektorer altid konvergerer mod en veldefineret grænse i rummet.

Banachrum er opkaldt efter den polske matematiker Stefan Banach, som introducerede og foretaget en systematisk undersøgelse af dem i 1920-1922 sammen med Hans Hahn og Eduard Helly. Banachrum oprindeligt voksede ud af studiet af funktionsrum af Hilbert, Fréchet og Riesz tidligere i århundredet. Banachrum spiller en central rolle i funktionel analyse. I andre områder af analyse, mellemrummene under studiet er ofte Banachrum.

Definition

En Banachrumsteori er et vektorrum X over marken R af reelle tal eller over marken C med komplekse tal, som er udstyret med en norm, og som er komplet med hensyn til denne norm, dvs. for hver Cauchy sekvens {xn} i X, der findes et element xi X, således at

eller ækvivalent:

Vektorrummet struktur gør det muligt at relatere opførsel Cauchy sekvenser som i konvergerende række vektorer. Kulisseskinne plads X er et Banach rum hvis og kun hvis hver absolut konvergent serie i X konvergerer,

Fuldstændigheden af ​​kulisseskinne rum er bevaret, hvis den givne norm erstattes med en tilsvarende én.

Alle normer på et endeligt-dimensionalt vektorrum er ækvivalente. Hver finite-dimensionelle Normeret plads i løbet af R eller C er en Banach rum.

Generel teori

Lineære operatører, isomorfier

Hvis X og Y er normeret rum over den samme jord feltet K, det sæt af alle kontinuerte K-lineære afbildninger T: X → Y er angivet ved B. I uendelige-dimensionelle rum, ikke alle lineære maps er kontinuerlig. En lineær afbildning fra kulisseskinne rum X til en anden Normeret plads er kontinuert hvis og kun hvis den er afgrænset på den lukkede enhed kugle af X. Således vektorrummet B kan gives operatøren normen

For Y en Banachrumsteori, rummet B er en Banachrumsteori med hensyn til denne norm.

Hvis X er et Banach rum, rummet B = B danner en UnitAl Banach algebra; multiplikationen operationen er givet ved sammensætningen af ​​lineære afbildninger.

Hvis X og Y er normeret rum, de er isomorfe normerede rum, hvis der eksisterer en lineær bijection T: X → Y, således at T og dens inverse T er kontinuerlige. Hvis en af ​​de to rum X eller Y er færdig derefter så er det andet rum. To normerede rum X og Y er isometrisk isomorfe Hvis der desuden T er en isometri, dvs. || || T = || X || for hver x i X. Banach-Mazur afstanden d mellem to isomorfe, men ikke isometrisk rum X og Y giver et mål for, hvor meget de to rum X og Y er forskellige.

Grundlæggende begreber

Hver normerede rum X kan isometrisk indlejret i en Banach rum. Mere præcist er der en Banachrumsteori Y og en isometrisk afbildning T: X → Y, således at T er tæt i Y. Hvis Z er en anden Banachrumsteori således at der er en isometrisk isomorfi fra X på en tæt delmængde af Z, så Z er isometrisk isomorf til Y.

Dette Banachrumsteori Y er færdiggørelsen af ​​Normeret plads X. Den underliggende metrisk rum for Y er det samme som det metriske færdiggørelse af X, med vektorrummet operationer udvides fra X til Y. Færdiggørelsen af ​​X er ofte betegnet med.

Det kartesiske produkt X × Y af to normerede rum er ikke kanonisk udstyret med en norm. Imidlertid er flere ækvivalente normer er almindeligt anvendt, såsom

og giver anledning til isomorfe normerede rum. I denne forstand produktet X × Y er komplet, hvis og kun hvis de to faktorer er fuldstændig.

Hvis M er et lukket lineær underrum af kulisseskinne plads X, der er en naturlig norm på kvotientrummet X / M,

Kvotienten X / M er en Banachrumsteori når X er færdig. Kvotienten kort fra X på X / M, sende xi X til sin klasse x + M, er lineær, på og har norm 1, undtagen når M = X, i hvilket tilfælde kvotienten er nul plads.

Den lukkede lineære underrum M X siges at være en suppleres underrum af X, når M er den række af en begrænset lineær projektion P fra X på M. I dette tilfælde er rummet X er isomorf til den direkte summen af ​​m og Ker, kernen af ​​fremskrivningen P.

Antag, at X og Y er Banachrum, og at T ∈ B. Der eksisterer en kanonisk faktorisering af T som

hvor det første kort π er kvotienten kortet, og det andet kort T1 sender hver klasse x + Ker i kvotienten til billedet T i Y. Dette er veldefineret, fordi alle elementer i samme klasse har det samme billede. Kortlægningen T1 er en lineær bijection fra X / Ker på området T, hvis invers behøver ikke være begrænset.

Klassiske rum

Grundlæggende eksempler på Banachrum omfatter: L rum og deres særlige tilfælde, rækkefølgen rum l, der består af skalar sekvenser indekseret af N; blandt dem, rummet ℓ af absolut summable sekvenser og rummet ℓ firkantede summable sekvenser; plads c0 af sekvenser tendens til nul og rummet ℓ af bundne sekvenser; plads C af kontinuerlige skalarfunktioner på en kompakt Hausdorff plads K, udstyret med max norm,

Ifølge Banach-Mazur sætning, hver Banachrumsteori er isometrisk isomorf til en underrum af nogle C. For hver adskilles Banachrumsteori X, der er et lukket underrum M l, således at x ≅ l / M.

Enhver Hilbert rum fungerer som et eksempel på et Banach rum. En Hilbert rum H på K = R, C er komplet til en norm af formen

hvor

er det indre produkt, lineært i sin første argument, opfylder følgende:

For eksempel rummet L er et Hilbert rum.

De hårdføre rum, de Sobolev rum er eksempler på Banachrum der er relateret til L rum og har ekstra struktur. De er vigtige i forskellige grene af analyse, Harmonisk analyse og partielle differentialligninger blandt andre.

Banach algebraer

En Banach algebra er en Banach rum A over K = R eller C, sammen med en struktur af algebra over r, således, at produktet kortet ∈ A × A → ab ∈ A er kontinuerlig. En tilsvarende norm på A kan findes, så || ab || ≤ || en || || b || for alle a, b ∈ A.

Eksempler

  • Den Banach rum C, med punktvis produkt, er en Banach algebra.
  • Disken algebra A består af funktioner holomorfe i det åbne enhed disk D ⊂ C og kontinuerlige på lukningen D. Udstyret med max norm på D, disken algebra A er en lukket subalgebra C.
  • Wiener algebra A er den algebra funktioner på enheden cirkel T med absolut konvergent Fourierrækker. Via kortet knytte en funktion på T til sekvensen af ​​dens Fourier koefficienter Dette algebra er isomorf til Banach algebra ℓ, hvor produktet er foldningen af ​​sekvenserne.
  • For hver Banach rum X, rummet B afgrænset lineære operatører på X, med sammensætningen af ​​kort som produkt, er en Banach algebra.
  • AC * -algebra er en kompleks Banach algebra A med en antilinear involution et → en sådan måde, at || aa || = || En ||. Rummet B bundne lineære operatører på et Hilbert rum H er en grundlæggende eksempel på C * -algebra. Den Gelfand-Naimark sætning, at hver C * -algebra er isometrisk isomorf til en C * -subalgebra nogle B. Rummet C af komplekse kontinuerte funktioner på et kompakt Hausdorff plads K er et eksempel på kommutativ C * -algebra, hvor involution associerede til enhver funktion f dens komplekse konjugerede f.

Dobbelt rum

Hvis X er kulisseskinne rum og K det underliggende felt, den kontinuerlige dobbelte rum er rummet af kontinuerte lineære afbildninger fra X ind i K, eller kontinuerlig lineære funktionaler. Den notation til kontinuerlig dobbelte er X '= B i denne artikel. Da K er en Banach rum, den dobbelte X 'er en Banach rum, for hver normeret rum X.

Det vigtigste redskab til at bevise eksistensen af ​​kontinuerte lineære funktionaler er Hahn-Banach teorem.

Især kan enhver kontinuert lineær funktionel på et underrum af et normeret rum kontinuerligt udvides til hele rummet, uden at øge normen af ​​den funktionelle. En vigtig særtilfælde er følgende: for hver vektor xi kulisseskinne rum X, findes der en kontinuerlig lineær funktionel f på X, således at

Hvor x ikke er lig med 0 vektor, skal den funktionelle f har norm én, og kaldes en funktionel Norming for x.

Den Hahn-Banach adskillelse sætning hedder det, at to disjunkte ikke-tomme konvekse mængder i en rigtig Banach rum, en af ​​dem åbne, kan være adskilt af en lukket affin hyperplan. Den åbne konvekse sæt ligger udelukkende på den ene side af hyperplan, den anden konvekse sæt ligger på den anden side, men kan røre hyperplan.

En delmængde S i et Banach rum X er total, hvis den lineære span S er tæt i X. delmængde S er total i X hvis og kun hvis den eneste kontinuerlige lineære funktionelle, der forsvinder på S er 0 funktionelt: denne ækvivalens følger Hahn-Banach teorem.

Hvis X er en direkte sum af to lukkede lineære underrum M og N, så den dobbelte X 'X er isomorf til den direkte sum af duals af M og N. Hvis M er en lukket lineær underrum i X, kan man knytte ortogonalt i M i dobbelt,

Den retvinklede M er et lukket lineær underrum af den dobbelte. Den dobbelte af M er isometrisk isomorf til X '/ M. Den dobbelte af X / M er isometrisk isomorf til M.

Den dobbelte af et adskilles Banach rum behøver ikke være adskillelige, men:

Når X 'er adskilles, kan ovennævnte kriterium for totalitet bruges til at bevise eksistensen af ​​en tællelig samlet delmængde i X.

Svage topologier

Den svage topologi på en Banach rum X er den groveste topologi på X for hvilken alle elementer x 'i den kontinuerlige dobbelte rum X "er kontinuerlig. Normen topologi er derfor finere end den svage topologi. Det følger af Hahn-Banach adskillelse sætning, at den svage topologi er Hausdorff, og at en norm-lukket konveks delmængde af en Banach rum også er svagt lukket. En norm-kontinuert lineær afbildning mellem to Banachrum X og Y er også svagt vedvarende, dvs., kontinuerlig fra den svage topologi X til den i Y.

Hvis X er uendelig-dimensional, der eksisterer lineære kort, som ikke kontinuerlig. Rummet X i alle lineære kort fra X til den underliggende felt K inducerer også en topologi på X, som er finere end den svage topologi, og meget mindre brugt i funktionel analyse.

På en dobbelt plads X ', der er en topologi svagere end den svage topologi X', kaldet svage * topologi. Det er den groveste topologi på X "for hvilken alle evaluering kort x '∈ X' → X«, x ∈ X, er kontinuerlig. Dens betydning kommer fra Banach-Alaoglu teorem.

Den Banach-Alaoglu teorem afhænger Tychonoff sætning om uendelige produkter af kompakte rum. Når X er adskilles, enheden kugle B 'af den dobbelte er en metrizable kompakt i de svage * topologi.

Eksempler på dobbelt rum

Den dobbelte af C0 er isometrisk isomorf til l: for hver afgrænset lineære, funktionelle f på c0, der er et enestående element y = {yn} ∈ l, således at

Den dobbelte af ℓ er isometrisk isomorf til ℓ. Den dobbelte af L er isometrisk isomorf til L, når 1 ≤ p & lt; ∞ og 1 / p + 1 / q = 1.

For hver vektor y i et Hilbert rum H, kortlægningen

definerer en kontinuert lineær funktionel fy på H. Riesz repræsentation sætning hedder, at enhver kontinuert lineær funktionel på H er af formen fy for en entydigt defineret vektor å i H. Kortlægningen y ∈ H → fy er en antilinear isometrisk bijektion fra H på sin dobbelte H. Når skalarer er reelle, dette kort er en isometrisk isomorfi.

Når K er en kompakt Hausdorff topologisk rum, den dobbelte M C er rummet af Radon foranstaltninger i betydningen Bourbaki. Den delmængde P M bestående af ikke-negative foranstaltninger af masse 1 er en konveks w * 'lukket delmængde af enheden kugle af M. De ekstreme punkter i P er Dirac foranstaltninger om K. Sættet af Dirac foranstaltninger vedrørende K, udstyret med w * -topology, er homeomorphic til K.

Resultatet er blevet udvidet med Amir og Cambern til det tilfælde, hvor multiplikative Banach-Mazur afstanden mellem C og C er & lt; 2. sætning ikke længere er tilfældet, når afstanden er = 2.

I kommutativ Banach algebra C, den maksimale idealer netop kerner af Dirac mesures på K,

Mere generelt ved Gelfand-Mazur sætning, de maksimale idealer en UnitAl kommutativ Banach algebra kan identificeres med sin charactersnot blot som sæt, men som topologiske rum: førstnævnte med skroget-kernel topologi og sidstnævnte med w * -topology . I denne identifikation, kan den maksimale ideelle plads ses som aw * -Kompakt delmængde af enheden bolden i dobbelt A '.

Ikke alle UnitAl kommutativ Banach algebra er af formen C for nogle kompakt Hausdorff rum K., denne erklæring besidder Men hvis man placerer C i den mindre kategori af Kommutativ C * -algebraer. Gelfand repræsentation sætning for Kommutativ C * -algebraer, at hver kommutativ UnitAl C * -algebra A er isometrisk isomorf til en C plads. Hausdorff kompakt rum K her er igen den maksimale ideelle plads, også kaldet spektret af A i C * -algebra sammenhæng.

Bidual

Hvis X er kulisseskinne rum, er den dobbelte X '' af den dobbelte X «hedder bidual eller anden dobbelte af X. For hver normeret rum X, der er en naturlig kort,

Dette definerer FX som en kontinuerlig lineær funktionel på X ", dvs., et element af X ''. Kortet FX: x → FX er en lineær afbildning fra X til X ''. Som en konsekvens af, at der foreligger en Norming funktionel f for hver X i X, dette kort FX er isometrisk, og dermed injektiv.

For eksempel er det dobbelte af X = c0 identificeret med ℓ, og den dobbelte af ℓ er identificeret med ℓ, rummet af bundne skalære sekvenser. Under disse identifikationer, FX er inddragelsen kortet fra c0 til ℓ. Det er faktisk isometrisk, men ikke på.

Hvis FX er surjektiv, så normerede rum X kaldes refleksivt. At være den dobbelte af kulisseskinne rum, bidual X '' er færdig, derfor hver refleksiv Normeret rum er et Banach rum.

Brug af den isometriske indlejring FX, er det almindeligt at overveje en normeret plads X som en delmængde af den bidual. Når X er en Banachrumsteori ofte betragtes som en lukket lineær underrum af X '. Hvis X er ikke refleksivt enheden kugle af X er en ægte delmængde af enheden kugle af X '. Den Goldstine sætning hedder det, at enheden kugle af kulisseskinne rum er svagt * -dense i enheden kugle af bidual. Med andre ord, for hver x '' i bidual, der er en netto {xj} i X, således at

Nettet kan erstattes af en svagt * -convergent rækkefølge, når den dobbelte X "kan adskilles. På den anden side, kan elementer af bidual af ℓ som ikke er i ℓ ikke være svag * limit af sekvenser i ℓ, da ℓ er svagt sekventielt fuldstændig.

Banach 's teoremer

Her er de vigtigste generelle resultater om Banachrum, der går tilbage til tidspunktet for Banach bog), og er relateret til Baire kategori teorem. Ifølge denne sætning, kan en komplet metrisk rum ikke være lig med en union af tælleligt mange lukkede delmængder med tomme interiør. Derfor kan en Banach rum ikke være foreningen af ​​tælleligt mange lukkede underrum, medmindre det allerede lig med en af ​​dem; et Banach rum med en tællelig Hamel grundlag er endelig-dimensionalt.

Den Banach-Steinhaus sætning er ikke begrænset til Banachrum. Det kan udvides til f.eks det tilfælde, hvor X er en Fréchet rum, forudsat konklusionen ændres således: under samme hypotese, findes der et kvarter U 0 i X sådan, at alle T i F ensartet afgrænset på U,

Dette resultat er en direkte konsekvens af den foregående Banach isomorfi teorem og den kanoniske faktorisering af bundne lineære afbildninger.

Dette er en anden konsekvens af Banach 's isomorfi sætning, anvendt på den kontinuerlige bijektion fra M1 ⊕ ... ⊕ Mn på X sende til summen m1 + ... + mn.

Refleksivitet

Den normerede rum X kaldes refleksiv når den naturlige kortet

er surjektiv. Refleksive normerede rum er Banachrum.

Dette er en konsekvens af Hahn-Banach teorem. Endvidere ved den åbne kortlægning teorem, hvis der er en begrænset lineær operator fra Banachrumsteori X på Banachrumsteori Y, Y er refleksivt.

Faktisk hvis den dobbelte Y «af en Banach rum Y er adskilles, så er Y adskilles. Hvis X er refleksiv og adskilles, så den dobbelte af X 'kan adskilles, så X' kan adskilles.

Hilbertrum er refleksiv. De L rum er refleksiv, når 1 & lt; p & lt; ∞. Mere generelt ensartet konvekse rum er refleksiv ved Milman-Pettis sætning. Rummene c0, l, L, C er ikke refleksiv. I disse eksempler på ikke-refleksive rum X, den bidual X '' er "meget større" end X. Nemlig, i det naturlige isometrisk indlejring af X i X '' givet ved Hahn-Banach teorem, kvotienten X '' / X er uendelig-dimensional, og selv nonseparable. Imidlertid har Robert C. James konstrueret et eksempel på en ikke-refleksive rum, normalt kaldet "James rum" og betegnet med J, således at kvotienten J '' / J er endimensional. Desuden er denne plads J er isometrisk isomorf til sin bidual.

Når X er refleksiv, følger det, at alle lukkede og afgrænset konvekse delmængder af X er svagt kompakt. I et Hilbert rum H er den svage kompakthed af enheden bolden meget ofte bruges på følgende måde: hver afgrænset sekvens i H har svagt konvergerende subsekvenser.

Svag kompakthed af enheden bold giver et værktøj til at finde løsninger i refleksive rum til visse optimeringsproblemer. For eksempel, hver konveks kontinuert funktion på enheden kugle B i en refleksiv rum opnår sit minimum på et tidspunkt i B.

Som et særligt tilfælde af det foregående resultat, når X er en refleksiv plads i løbet af R, hver kontinuerlig lineær funktionel f i X "opnår sit maksimum || f || på enheden kugle af X. Den følgende sætning af Robert C. James giver en omvendte erklæring.

Sætningen kan udvides til at give en karakteristik af svagt kompakte konvekse mængder.

På hver ikke-refleksiv Banach rum X, findes der løbende lineære funktionaler, der ikke er normen-opnåelsen. Biskoppen-Phelps sætning hedder dog, at norm-nå funktionaler er normen tætte i den dobbelte X "af X.

Svage konvergens af sekvenser

En sekvens {xn} i en Banach rum X svagt konvergent til en vektor x ∈ X, hvis f konvergerer mod f for hver kontinuerlig lineær funktionel f i den dobbelte X ". Sekvensen {xn} er et svagt Cauchy sekvens, hvis f konvergerer mod en skalar grænse L, for hvert f i X «. En sekvens {fn} i dobbelt X "er svagt * konvergent til en funktionel f ∈ X ', hvis fn konvergerer mod f for hver x i X. Svagt Cauchy-sekvenser, svagt konvergerende og svagt * konvergerende sekvenser norm afgrænset, som en konsekvens af Banach-Steinhaus sætning.

Når sekvensen {xn} i X er en svagt Cauchy sekvens, grænsen L ovenfor definerer en begrænset lineære, funktionelle på dual X ", dvs., et element L af bidual af X, og L er grænsen for {xn} i den svage * -topology af bidual. Den Banach rum X er svagt sekventielt komplet, hvis hver svagt Cauchy sekvens svagt er konvergent i X. Det følger af den foregående diskussion, refleksive rum er svagt sekventielt fuldstændige.

En ortonormal sekvens i en Hilbert rummet er et simpelt eksempel på en svagt konvergent sekvens, med grænse på 0 vektoren. Enheden vektor grundlag af ℓ, 1 & lt; p & lt; ∞, eller c0, er et andet eksempel på en svagt null sekvens, dvs. en sekvens, som konvergerer svagt til 0. For hvert svagt null sekvens i en Banachrumsteori, findes der en sekvens af konvekse kombinationer af vektorer fra den angivne sekvens, der er norm-konvergerende til 0.

Enheden vektor grundlag af ℓ er ikke svagt Cauchy. Svagt Cauchy sekvenser i ℓ er svagt konvergent, da L-rum er svagt sekventielt fuldstændige. Faktisk, svagt konvergerende sekvenser i ℓ er normen konvergent. Det betyder, at ℓ opfylder Schur ejendom.

Resultater involverer ℓ basis

Svagt Cauchy-sekvenser og ℓ grundlag er de modsatte tilfælde af dikotomien etableret i det følgende dybe resultat af H. P. Rosenthal.

Et supplement til dette resultat skyldes Odell og Rosenthal.

Ved Goldstine sætning, hvert element af enheden bolden B '' X '' er svag * limit af et net i enheden kugle af X. Når X indeholder ikke ℓ, hvert element af B '' er svag * - grænse for en sekvens i enheden kugle af X.

Når Banach rummet X kan udskilles enheden kugle af den dobbelte X ", udstyret med den svage * -topology, er en metrizable kompakt rum K og hvert element x '' i bidual X '' definerer en afgrænset funktion K :

Denne funktion er kontinuert for den kompakte topologi K hvis og kun hvis X 'er faktisk i X, betragtes som delmængde af X'. Antag derudover for resten af ​​stykket, at X ikke indeholder ℓ. Ved det foregående resultat af Odell og Rosenthal, funktionen x '' er punktvis grænse for K i en sekvens {xn} ⊂ X af kontinuerte funktioner på K, er det derfor en første Baire klasse funktionen på K. Enheden kugle af den bidual er en punktvis kompakt delmængde af den første Baire klasse på K.

Sekvenser, svag og svag * kompakthed

Når X er adskilles, enheden kugle af den dobbelte er svag * -Kompakt af Banach-Alaoglu og metrizable for de svage * topologi, dermed hver afgrænset sekvens i den dobbelte har svagt * konvergerende subsekvenser. Dette gælder for adskillelige refleksive rum, men mere er tilfældet i det foreliggende tilfælde, som angivet nedenfor.

Den svage topologi af et Banachrumsteori X er metrizable hvis og kun hvis X er finite-dimensional. Hvis den dobbelte X 'er adskillelige, den svage topologi af enheden kugle af X er metrizable. Dette gælder især for separable refleksive Banachrum. Selvom den svage topologi af enheden bolden ikke metrizable i almindelighed, kan man karakterisere svag kompakthed anvendelse af sekvenser.

En Banachrumsteori X er refleksiv hvis og kun hvis hvert afgrænset sekvens i X har en svagt konvergent undersekvens.

Et svagt kompakt delmængde A i ℓ er normen-kompakt. Faktisk hver sekvens i A har svagt konvergerende subsekvenser ved Eberlein-Šmulian, som er normen konvergerende ved Schur tilhører ℓ.

Schauder baser

En Schauder basis i et Banach rum X er en sekvens {en} n ≥ 0 af vektorer i X med den egenskab, at for hver vektor xi X findes der entydigt definerede skalarer {Xn} n ≥ 0 afhængig af x, således at

Det følger af Banach-Steinhaus sætning, at de lineære afbildninger {Pn} ensartet afgrænset af nogle konstante C. Lad {e *
n} betegne koordinere funktionaler der tildeler til hver xi X koordinatsystemet xn x i ovenstående ekspansion. De kaldes biortogonale funktionaler. Når basisvektorer har norm 1, koordinatsystemet funktionaler {e *
n} har norm ≤ 2C i dobbelt X.

De fleste klassiske rum har eksplicitte baser. Det Haar-systemet {hn} er en basis for L, 1 ≤ p & lt; ∞. Det trigonometriske system er et grundlag i L, når 1 & lt; p & lt; ∞. Det Schauder-systemet er et grundlag i rummet C. Spørgsmålet om, hvorvidt disken algebra A har et grundlag forblev åben i mere end fyrre år, indtil Bočkarev viste i 1974, at A indrømmer et grundlag konstrueret af Franklin-systemet.

Da hver vektor xi et Banach rum X med en basis er grænsen for Pn, med Pn af finite rang og ensartet afgrænset, rummet X opfylder afgrænset tilnærmelse ejendom. Det første eksempel ved Enflo af et rum ikke indbyrdes egenskab var samtidig det første eksempel på en Banachrumsteori uden Schauder basis.

Robert C. James karakteriseret refleksivitet i Banachrum med grundlag: rummet X med en Schauder basis er refleksiv hvis og kun hvis grundlag er både skrumpende og boundedly færdig. I dette tilfælde er de biortogonale funktionaler danne basis af den dobbelte af X.

Tensor produkt

Lad X og Y være to K-vektorrum. Tensor produkt X ⊗ Y af X og Y er en K-vektorrum Z med en bilineær kortlægning T: X × Y → Z som har følgende universelle ejendom:

Billedet under T i et par i X × Y er angivet ved x ⊗ y, og kaldes en simpel tensor. Hvert element z i X ⊗ Y er en begrænset sum af sådanne enkle tensorer.

Der er forskellige normer, der kan placeres på tensor produktet af de underliggende vektorrum bl.a. den projektive cross normen, og injektiv cross norm introduceret af A. Grothendieck i 1955.

Generelt er tensor produkt af komplette rum ikke fuldføre igen. Når du arbejder med Banachrum, er det almindeligt at kalde projektiv tensor produktet af to Banachrum X og Y færdiggørelsen af ​​det algebraiske tensor produktet X ⊗ Y udstyret med den projektive tensor normen, og tilsvarende for den injektiv tensor produktet. Grothendieck beviste især, at

hvor K er en kompakt Hausdorff rum, C Banach rum af kontinuerte funktioner fra K til Y og L rummet af Bochner-målbare og integrable funktioner fra til Y, og hvor isomorfier er isometrisk. De to isomorfier ovenfor, er de respektive udvidelser af kortet sende tensor f ⊗ y til Vektorfunktion s ∈ K → f y ∈ Y.

Tensor produkter og tilnærmelse ejendom

Lad X være en Banachrumsteori. Tensor produktet identificeres isometrisk med lukningen i B i sæt af finite rang operatører. Når X har tilnærmelse ejendom, denne lukning falder sammen med rummet af kompakte operatører på X.

For hver Banachrumsteori Y, der er en naturlig norm 1 lineær afbildning

opnås ved at udvide identiteten kort over algebraisk tensor produkt. Grothendieck relateret tilnærmelse problem at spørgsmålet om, hvorvidt dette kort er en-til-en, når Y er den dobbelte af X. Netop for hver Banachrumsteori X, kortet

er en-til-en, hvis og kun hvis X har indbyrdes ejendom.

Grothendieck formodede, at og skal være anderledes, når X og Y er uendelige-dimensionelle Banachrum. Dette blev modbevist af Gilles Pisier i 1983. Pisier bygget en uendelig-dimensionalt Banach rum X sådan, at og er lige. Desuden, ligesom Enflo eksempel, dette rum X er en "håndlavet" rum, der ikke har tilnærmelse ejendom. På den anden side, Szankowski bevist, at den klassiske plads B ikke har indbyrdes ejendom.

Nogle resultater klassificering

Beskrivelser af Hilbert rummet blandt Banachrum

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for normen af ​​et Banach rum X til at være forbundet til en indre produkt er parallelogram identitet:

Det følger, for eksempel, at Lebesgue rummet L er kun et Hilbert rum, når p = 2. Hvis denne identitet er opfyldt, de associerede indre produkt er givet ved polarisering identitet. I tilfælde af reelle skalarer, dette giver:

For komplekse skalarer, der definerer det indre produkt, således at den C-lineær x, y antilinear i, giver polarisering identitet:

At se, at parallelogram loven er tilstrækkelig, man bemærker i den virkelige sag, & lt; x, y & gt; er symmetrisk, og i det komplekse tilfælde, at det opfylder det Hermitian symmetri ejendommen og & lt; ix, y & gt; = I & lt; x, y & gt ;. Den parallelogram lov indebærer, at & lt; x, y & gt; er additiv i x. Heraf følger, at det er lineært over rationals, således lineær med kontinuitet.

Flere beskrivelser af rum isomorfe til Hilbertrum er til rådighed. Parallelogram ret kan udvides til mere end to vektorer, og svækket ved indføring af et tosidet ulighed med en konstant c ≥ 1: Kwapień bevist, at hvis

for hvert heltal n og alle familier af vektorer {x1, ..., xn} ⊂ X, så Banach rum X er isomorf til et Hilbert rum. Her Ave ± angiver gennemsnittet over de 2 mulige valg af tegn ± 1. I samme artikel, Kwapień bevist, at gyldigheden af ​​en Banach-værdsat Parsevals sætning for Fouriertransformation karakteriserer Banachrum isomorfe til Hilbertrum.

Lindenstrauss og Tzafriri bevist, at et Banach rum, hvor hver lukkede lineære underrum suppleres er isomorf til et Hilbert rum. Beviset hviler på Dvoretzky sætning om euklidiske sektioner af høj-dimensionelle centralt symmetriske konvekse organer. Med andre ord, Dvoretzky teorem, at for hvert heltal n, enenhver finite-dimensionelle Normeret plads, med dimension tilstrækkelig stor i forhold til n indeholder underrum næsten isometriske til den n-dimensionale euklidisk rum.

Den næste Resultatet giver en løsning på det såkaldte homogene rum problem. En uendelig-dimensionalt Banach rum X siges at være homogene, hvis det er isomorf til alle sine uendelig-dimensionale lukkede underrum. En Banach rum isomorf til ℓ er homogen, og Banach bad om det omvendte.

En uendelig-dimensionalt Banach rum er arveligt indecomposable når ingen underrum af det kan være isomorf med den direkte sum af to uendelige-dimensionelle Banachrum. Den Gowers dikotomi sætning hævder, at enhver uendelig-dimensionalt Banach rum X indeholder enten et underrum Y med ubetinget grundlag, eller et arveligt indecomposable underrum Z, og især, Z er ikke isomorf til sine lukkede hyperplaner. Hvis X er homogen, skal det derfor have en ubetinget basis. Det følger derefter fra den delvise opløsning opnået ved Komorowski og Tomczak-Jaegermann for rum med en ubetinget grundlag, at X er isomorf til ℓ.

Rum af kontinuerte funktioner

Når to kompakte Hausdorff rum K1 og K2 er homeomorphic, de Banachrum C og C er isometrisk. Omvendt, når K1 er ikke homeomorphic til K2, skal Banach-Mazur afstanden mellem C og C være større end eller lig med 2, se ovenfor resultaterne af Amir og Cambern. Selvom utallige kompakte metriske rum kan have forskellige homeomorphy typer, man har følgende resultat grundet Milutin:

Situationen er anderledes for tælleligt uendelige kompakte Hausdorff rum. Hver tælleligt uendeligt kompakt K er homeomorphic til nogle lukkede interval ordenstal

udstyret med ordren topologi, hvor α er et tælleligt uendeligt ordenstal. Den Banachrumsteori C er derefter isometrisk til C. Når α, β er to tælleligt uendelige ordenstal, og under forudsætning af α ≤ β, rummene C og C er isomorfe hvis og kun hvis p & lt; α. For eksempel Banachrum

er indbyrdes ikke-isomorfe.

Eksempler

En ordliste med symboler:

  • K = R, C;
  • X er en kompakt Hausdorff rum;
  • Jeg er en lukket og begrænset interval;
  • p, q er reelle tal med 1 & lt; p, q & lt; ∞ således at 1 / p + 1 / q = 1.
  • Σ er en σ-algebra af sæt;
  • Ξ er en algebra af sæt;
  • μ er et mål med variation | μ |.

Derivater

Adskillige begreber et derivat kan defineres på en Banach rum. Se artiklerne om Fréchet derivat og gateaux derivat for detaljer. Den Fréchet derivat giver mulighed for en udvidelse af begrebet en retningsbestemt derivat til Banachrum. Den gateaux derivat giver mulighed for en forlængelse af en retningsbestemt derivat lokalt konvekse topologiske vektorrum. Fréchet differentiabilitet er en stærkere tilstand end gateaux differentiabilitet. Kvasi-derivat er en anden generalisering af retningsbestemt derivat, der indebærer en stærkere tilstand end gateaux differentiabilitet, men en svagere tilstand end Fréchet differentiabilitet.

Generaliseringer

Flere vigtige rum i funktionel analyse, for eksempel rummet af alle uendeligt ofte differentiabel funktioner R → R, eller rummet af alle distributioner på R, er fuldstændige, men er ikke normeret vektorrum og dermed ikke Banachrum. I Fréchet rum man stadig har en komplet metrik, mens LF-rum er komplet uniform vektorrum opstår som grænserne for Fréchet rum.

  0   0
Forrige artikel The Patriot
Næste artikel Fire dynamik simulator

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha