Ax-Kochen sætning

Den Ax-Kochen sætning, opkaldt efter James Ax og Simon B. Kochen, hedder det, at for hvert positivt heltal d der er et endeligt sæt Yd af primtal, sådan at hvis p er enhver prime ikke i Yd derefter hver homogen polynomium af grad d over p-adic tal i det mindste d + 1 variable har en nontrivial nul.

Beviset for sætningen

Beviset for sætningen gør udstrakt brug af metoder fra matematisk logik, såsom model teori.

Et første beviser Serge Lang sætning, om, at de analoge teorem er sandt for feltet Fp) formelle Laurent serie over en endelig felt Fp med. Med andre ord, hver homogene polynomium af graden d med mere end d variabler har en ikke-triviel nul (så Fp) er en C2-felt).

Så en viser, at hvis to Henselian værdsatte felter har tilsvarende værdiansættelse grupper og restkoncentrationer felter, og resten felter har karakteristisk 0, så er de elementarily tilsvarende.

Næste anvender denne til to felter, en givet af en ultraproduct frem for alle primtal af felterne FP) og det andet givet af en ultraproduct frem for alle primtal af P-adic felter Qp. Begge restkoncentrationer felter er givet ved en ultraproduct over markerne Fp, så er isomorfe og har karakteristisk 0, og begge værdi grupper er de samme, så ultraproducts er elementarily tilsvarende. (Tager ultraproducts bruges til at tvinge feltet rest at have karakteristiske 0; de restkoncentrationer områderne Fp) og Qp har begge ikke-nul karakteristisk p).

Den elementære ækvivalens disse ultraproducts indebærer, at for enhver sætning i det sprog, værdsatte felter, der er et endeligt sæt Y ekstraordinære primtal, således at der for enhver p ikke i dette sæt sætningen er sandt for Fp) hvis og kun hvis det er gælder for det område af p-adic numre. Anvende dette til den sætning om, at enhver ikke-konstant homogen polynomium af grad d i det mindste d + 1 variable repræsenterer 0, og ved hjælp Lang sætning, får man Ax-Kochen teorem.

Alternativt bevis

I 2008 Jan Denef fundet en rent geometrisk bevis for en formodning af Jean-Louis Colliot-Thélène der generaliserer den Ax-Kochen teorem. Han præsenterede sin bevis på "Varietes rationnelles" seminar på École Normale Supérieure i Paris, men beviset er ikke offentliggjort endnu.

Ekstraordinære primtal

Emil Artin formodede denne sætning med finite enestående sæt Yd bliver tom, men Guy Terjanian fandt følgende 2-adic modeksempel til d = 4. Definer

Så G har den egenskab, at det er 1 mod 4, hvis nogle x er ulige, og 0 mod 16 andet. Det følger let fra dette, at den homogene formular

af graden d = 4 i 18 & gt; d variabler har ingen ikke-trivielle nuller over 2-adic heltal.

Senere Terjanian viste, at for hver prime p og multipel d & gt; 2 p, der er en form i løbet af de p-adic antal grader d med mere end d variabler, men ingen nontrivial nuller. Med andre ord, for alle d & gt; 2, Yd indeholder alle primtal p sådan at p opdeler d.

Brown gav et eksplicit, men meget store bundet til den usædvanlige sæt af primtal s. Hvis graden d er 1, 2 eller 3 den ekstraordinære sæt er tom. Heath-Brown viste, at hvis d = 5 den usædvanlige sæt er afgrænset af 13, og Wooley viste, at for d = 7 den usædvanlige sæt er afgrænset af 883, og for d = 11 er det afgrænset af 8053.

  0   0
Forrige artikel Dudley Pope
Næste artikel CBS Reality

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha